3神戸大学 2011年 数学 第3問解答・解説

以下、$\log$ は自然対数とする。

(1)　 $n\ge 2$ より $\log n>0$ である。$u=\log x$ とおくと $\displaystyle du=\dfrac{dx}{x}$ であり、積分区間の端は $x=n$ のとき $u=\log n$、$x=n^3$ のとき $u=\log(n^3)=3\log n$ となる。したがって、$$\displaystyle \int_n^{n^3}\frac{dx}{x\log x}=\int_{\log n}^{3\log n}\frac{du}{u}=[\log u]_{\log n}^{3\log n}=\log(3\log n)-\log(\log n)=\log 3.$$ (2)　 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x\log x}$ とおく。$x>1$ では $\log x>0$ であり、$\log x$ は増加関数である。よって $1<a<b$ ならば $a\log a<b\log a<b\log b$ となるので、$x\log x$ は $x>1$ で増加し、$f(x)$ は正の減少関数である。したがって、$k<x<k+1$ では $f(k+1)<f(x)<f(k)$ である。$f$ は $k\le x\le k+1$ の範囲 で連続であり、区間の内部でこの不等式が成り立つから、両辺を $k\le x\le k+1$ の範囲 で積分すると$$\displaystyle \frac{1}{(k+1)\log(k+1)}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{x\log x}<\frac{1}{k\log k}.$$ (3)　 (2) を $k=n,n+1,\ldots,n^3-1$ について加える。左辺の和は $\displaystyle \sum\limits _{k=n}^{n^3-1}f(k+1)=\sum\limits _{j=n+1}^{n^3}f(j)=S_n-f(n)+f(n^3)$ であり、定積分の区間加法性と (1) より$$\displaystyle S_n-f(n)+f(n^3)<\int_n^{n^3}f(x)\,dx=\log 3<S_n.$$ したがって $\log 3<S_n<\log 3+f(n)-f(n^3)<\log 3+f(n)$ である。また、$n\ge2$ では $\log n\ge\log 2>0$ だから$$\displaystyle 0<f(n)=\frac{1}{n\log n}\le\frac{1}{n\log 2}\longrightarrow 0\quad(n\to\infty).$$ よって、はさみうちの原理から $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\log 3$。