3山形大学 2009年 数学 第3問解答・解説

（1）$x>-1$で$1+x>0$である。$$\displaystyle F(x)=\log(1+x)-\frac{x}{x+1}$$ とおくと、$$\displaystyle F'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}.$$ したがって$-1<x<0$で減少し、$x>0$で増加するので、$F(x)\geq F(0)=0$。等号は$x=0$のときに限る。また$$G(x)=x-\log(1+x)$$ とおけば$$\displaystyle G'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}.$$ 同様に$-1<x<0$で減少し、$x>0$で増加するため$G(x)\geq G(0)=0$。等号は$x=0$のときに限る。これで(I),(II)が示された。

（2）$\displaystyle u=\frac{k^a}{n^{a+1}}>0$とおく。(1)より$$\displaystyle \frac{u}{1+u}<\log(1+u)<u.$$ また$1\leq k\leq n$かつ$a>0$より$k^a\leq n^a$なので、$$\displaystyle \frac{k^a}{n^a(n+1)}\leq\frac{k^a}{n^{a+1}+k^a}=\frac{u}{1+u}<\log\left(1+\frac{k^a}{n^{a+1}}\right)<\frac{k^a}{n^{a+1}}.$$ これを$k=1,\ldots,n$について加えると、$$\displaystyle \frac{1}{n^a(n+1)}\sum\limits _{k=1}^n k^a<S_n<\frac{1}{n^{a+1}}\sum\limits _{k=1}^n k^a$$ を得る。

（3）両端の和に現れる量を$$\displaystyle T_n=\frac{1}{n^{a+1}}\sum\limits _{k=1}^n k^a=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^a$$ とおく。これは $0\le x\le1$ を $n$ 等分し、各小区間の右端での $x^a$ の値に幅 $1/n$ を掛けて足したものである。区分求積法より、$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}T_n=\int_0^1x^a\,dx=\left[\frac{x^{a+1}}{a+1}\right]_0^1=\frac1{a+1}.$$ （2）の下限は$\displaystyle \frac{n}{n+1}T_n$、上限は$T_n$であり、いずれも$\displaystyle \frac1{a+1}$に収束する。はさみうちの原理より$$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}S_n=\frac1{a+1}}.$$