2山形大学 2009年 数学 第2問解答・解説

変換を $f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$ と書く。

(1) $P=(t,t^2)$ とすると、$Q_y=ct+dt^2=t(c+dt)$。したがって $t=0$ は常に解で、$d\ne0$ なら $t=-c/d$ も解となる。対応する点は $$\displaystyle P=(0,0),\qquad P=\left(-\frac cd,\frac{c^2}{d^2}\right)\quad(d\ne0).$$ $c=0$ なら二つ目は原点と重なる。$d=0$ のとき $ad-bc\ne0$ より $c\ne0$ なので、原点だけである。

(2) $Q$ が放物線上にある条件は、全ての実数 $t$ で $$ct+dt^2=(at+bt^2)^2=a^2t^2+2ab t^3+b^2t^4$$ となること。係数比較から $c=0,\ d=a^2,\ 2ab=0,\ b^2=0$、従って $b=c=0,\ d=a^2$。可逆条件は $ad-bc=a^3\ne0$ より $a\ne0$。逆にこの条件なら $Q=(at,a^2t^2)$ で放物線上にある。

(3) 二回変換した座標は $$R_x=(a^2+bc)t+b(a+d)t^2,\quad R_y=c(a+d)t+(bc+d^2)t^2.$$ $A=a^2+bc,\ B=b(a+d),\ C=c(a+d),\ D=bc+d^2$ とおく。恒等式 $R_y=R_x^2$ の係数比較で $B=C=0,\ D=A^2$。

$a=2$ で $d\ne-2$ なら、$B=C=0$ から $b=c=0$。従って $A=4,\ D=d^2$ で $d^2=16$、行列式は $2d=8$ または $-8$。

$d=-2$ なら $A=D=4+bc$ なので $A=A^2$。$A=0$ は $bc=-4$ となって $ad-bc=0$ と矛盾し、$A=1$ なら $bc=-3,\ ad-bc=-4+3=-1$。

したがって、(3)で印刷された条件を満たす行列式の全可能値は $-8,-1,8$。なお、(2)の条件も別途課す場合は $a=2,b=c=0,d=4$ となり、行列式は $8$。

判定

PASS。場合分けで問(3)の条件を満たす全可能値を列挙できており、答えは完結している。なお、(2)の条件も別途課す場合に限り、行列式は $8$ となる。