3群馬大学 2017年 数学 第3問解答・解説

原文・対象確認

PDF p.6（印刷p.5）の医3を原画像で確認した。a,bは実数で$a<b<1$、二条件は $\displaystyle a+b+\frac1a+\frac1b=10$ と $\displaystyle a+b+ab+\frac1a+\frac1b+\frac ba+\frac ab+\frac1{ab}=34$。条件と設問はOCRと一致する。表紙には「前期日程」「数学問題」「医学部医学科」と印字される。

数学・範囲の点検

a,bは逆数が定義されるので0ではない。$\displaystyle u=a+\frac1a$、$\displaystyle v=b+\frac1b$とおくと、第一条件から$u+v=10$。第二条件の左辺は $u+v+uv$ だから $uv=24$。従ってu,vは $t^2-10t+24=(t-4)(t-6)=0$ の二根である。

$\displaystyle z+\frac1z=4$の解は$2\pm\sqrt3$、$\displaystyle z+\frac1z=6$の解は$3\pm2\sqrt2$。各根は正で、$z<1$により小さい根を選ぶ。さらに$3-2\sqrt2<2-\sqrt3$（$1+\sqrt3<2\sqrt2$を二乗し、$\sqrt3<2$を用いる）。よって$a<b$により $a=3-2\sqrt2$、$b=2-\sqrt3$。代入すると$u=6,\ v=4$で、二条件は10と$10+24=34$となる。両採用結果と一致する。

対称式の置換、二次方程式、大小比較のみで高校範囲内。

採用する解説