1群馬大学 2017年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^n\theta_k$ とおく。(1) の一般項を $a_n=\cos T_n,\ b_n=\sin T_n$ と予想する。$n=1$ では定義から成り立つ。これが $n$ で成り立つとすると、三角関数の加法定理と漸化式より $$\begin{aligned} a_{n+1}&=\cos T_n\cos\theta_{n+1}-\sin T_n\sin\theta_{n+1}=\cos(T_n+\theta_{n+1}),\\ b_{n+1}&=\cos T_n\sin\theta_{n+1}+\sin T_n\cos\theta_{n+1}=\sin(T_n+\theta_{n+1}). \end{aligned}$$ $T_{n+1}=T_n+\theta_{n+1}$ だから、数学的帰納法によりすべての $n\ge1$ でこの表示が成り立つ。

ここで $$\displaystyle \frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$$ より、和は望ましい形に消去できて $$\displaystyle T_n=\frac{5\pi}{6}\sum\limits _{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\frac{5\pi}{6}\left(1-\frac1{n+1}\right)=\frac{5\pi n}{6(n+1)}.$$ したがって $$\displaystyle a_n=\cos\!\left(\frac{5\pi n}{6(n+1)}\right),\qquad b_n=\sin\!\left(\frac{5\pi n}{6(n+1)}\right).$$ さらに $\displaystyle \frac{n}{n+1}\to1$ なので $\displaystyle T_n\to\frac{5\pi}{6}$。正弦・余弦の連続性から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},\qquad \lim\limits _{n\to\infty}b_n=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12.$$