4旭川医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

赤玉を $+1$、白玉を $-1$ とし、$i$ 回までの赤白の差を $s_i=r_i-w_i$ とする。条件はすべての接頭部分で $s_i\geq0$ となることである。

長さ $2n$ の赤白列で赤白が同数のものは $\displaystyle \binom{2n}{n}$ 通りある。不適格な列では、差が初めて $-1$ となる位置まで赤と白を交換する。この操作で、白が赤より1個多い接頭部分の色が交換され、列全体では赤 $n+1$ 個、白 $n-1$ 個となる。逆に、赤 $n+1$ 個、白 $n-1$ 個の列は最後の差が $2$ なので、差が初めて $1$ となる位置まで交換すれば不適格な同数列に戻る。よって不適格列は $\displaystyle \binom{2n}{n+1}$ 通りであり、 $$\displaystyle a_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}.$$ したがって $a_3=5,\ a_4=14,\ a_5=42$。

次に $\displaystyle b_n=\binom{2n}{n}/4^n$ とおくと、 $$\displaystyle b_1=\frac12,\qquad b_{n+1}=b_n\frac{2n+1}{2n+2}.$$ 下側の不等式は $n=1$ で等号。$b_n\geq1/(2\sqrt n)$ を仮定すると、 $$\displaystyle b_{n+1}\geq\frac{2n+1}{2n+2}\frac{1}{2\sqrt n}\geq\frac{1}{2\sqrt{n+1}},$$ ここで最後の不等式は $(2n+1)^2(n+1)\geq(2n+2)^2n$（差は $n+1>0$）による。 上側は $b_1=1/2\leq1/\sqrt3$。$b_n\leq1/\sqrt{2n+1}$ を仮定すると、 $$\displaystyle b_{n+1}\leq\frac{2n+1}{2n+2}\frac{1}{\sqrt{2n+1}}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{2n+3}},$$ 最後は $(2n+1)(2n+3)\leq(2n+2)^2$ による。よって帰納法により問3の両側が成り立つ。

問2の式から、 $$\displaystyle \frac{a_n}{4^n\sqrt n}=\frac{b_n}{(n+1)\sqrt n}.$$ 問3の下側から $b_n\geq1/(2\sqrt n)$ なので各項は $1/[2n(n+1)]$ 以上。

上側から各項は $1/[(n+1)\sqrt{n(2n+1)}]$ 以下である。

また、$n(2n+1)\geq2n^2$ より $1/[\sqrt2 n(n+1)]$ 以下である。これらを $n=1$ から $N$ まで足し、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}=\sum\limits _{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=\frac{N}{N+1}$$ を用いると、問4の両側の不等式を得る。