旭川医科大学 2025年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数積分法平面上の曲線と複素数平面

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1問題

旭川医科大学2025年度第1問

次の媒介変数表示をもつ曲線 C を考える.媒介変数 t は実数全体を動くとする.

$x = f (t) = e ^ {t} - e ^ {- t}, \quad y = g (t) = e ^ {t} + e ^ {- t}.$

このとき、次の問いに答えよ。

問 1 x, y のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ.

問 2 C 上の点 $(x, y)$ に対して, y を x を用いて表せ.

問 3 座標平面の原点を O とし, T > 0 に対して, $a = f(T)$ , $b = g(T)$ とおき, C 上に点 P (a, b) をとる. $0 \leq x \leq a$ における C の部分と y 軸および線分 OP によって囲まれる図形を D とする. D の面積 S を T を用いて表せ.

問 4 問 3 で定めた b, D について, D を y 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積 V を b を用いて表せ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合すべて採用解答と一致する。問3は独立稿の原始関数による積分と採用稿の媒介変数置換が同じ面積を与える。問4は独立稿の円筒殻法と採用稿の水平断面法が一致する。どちらも高校数学IIIの標準積分法である。判定は PASS。

分類単元は指数関数、積分法。方法は媒介表示、平方差、定積分による面積、回転体の円筒殻・水平断面積。テーマは双曲線領域の面積と回転体積。

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