1福島県立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) 漸化式と初項から、すべての $a_n$ は正である。そこで $\displaystyle r_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ とおくと、 $$\displaystyle r_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=4\frac{a_{n+1}}{a_n}=4r_n,\qquad r_1=8.$$ よって $r_n=8\cdot4^{n-1}$ であり、 $$\displaystyle a_n=\prod\limits _{j=1}^{n-1}r_j =8^{n-1}4^{(n-1)(n-2)/2} =2^{n^2-1}.$$ $n=1,2$ でそれぞれ $1,8$ となり、またこの式を漸化式に代入すると両辺の指数は $2n^2+4n+2$ で一致する。

(2) 赤玉5個の入るマスを選ぶ方法は全部で $\displaystyle \binom{24}{5}$ 通りで、これらは同様に確からしい。赤玉を含む列が $k$ 列のとき、まずその列を $\displaystyle \binom{8}{k}$ 通りに選ぶ。選んだ列の各々に少なくとも1個、最大3個の赤玉が入る。5個を2列に分ける場合は個数が $(2,3)$ なので、各列の選び方は $\displaystyle \binom32\binom33+\binom33\binom32=6$ 通りである。3列の場合、個数の組は $(3,1,1)$ または $(2,2,1)$ だから、固定した3列で $$\displaystyle 3\binom33\binom31^2+3\binom31\binom32^2=27+81=108$$ 通りである。4列の場合の個数は $(2,1,1,1)$ なので、固定した4列で $$\displaystyle 4\binom32\binom31^3=324$$ 通りである。5個の赤玉は1列には入らないため、4列以下となる確率は $$\displaystyle \frac{\binom82\cdot6+\binom83\cdot108+\binom84\cdot324}{\binom{24}{5}} =\frac{28896}{42504}=\frac{172}{253}.$$ ちょうど3列となる確率は $$\displaystyle \frac{\binom83\cdot108}{\binom{24}{5}} =\frac{6048}{42504}=\frac{252}{1771}.$$

(3) $g(x)=f(x)e^{x^2}$ とおくと、 $$g'(x)=e^{x^2}\{f'(x)+2xf(x)\}\leq0$$ である。したがって $g$ は $x\geq0$ で単調非増加であり、$g(x)\leq g(0)=f(0)$ となる。$e^{-x^2}>0$ を掛ければ $$f(x)\leq f(0)e^{-x^2}$$ を得る。$x=0$ では等号である。

(4) 双曲線は $y=\pm\sqrt{x^2+1}$ と表せる。直線 $y=2$ は上側の枝と $x=\pm\sqrt3$ で交わるので、囲まれた部分の面積を $S$ とすると $$\displaystyle S=2\int_0^{\sqrt3}\{2-\sqrt{x^2+1}\}\,dx.$$ $\displaystyle I=\int_0^{\sqrt3}\sqrt{x^2+1}\,dx$ とおく。部分積分と $\displaystyle \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$ より、 $$\displaystyle I=2\sqrt3-I+\int_0^{\sqrt3}\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}.$$ 最後の積分では $\displaystyle \dfrac{d}{dx}\ln(x+\sqrt{x^2+1})=\dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$ だから、 $$2I=2\sqrt3+\ln(2+\sqrt3),\qquad S=4\sqrt3-2I=2\sqrt3-\ln(2+\sqrt3).$$

(5) $y=2\sin t\cos t$ と $x=\cos t$ から $$y^2=4x^2(1-x^2),\qquad -1\leq x\leq1.$$ 曲線は $x$ 軸、$y$ 軸に関して対称で、$(-1,0),(0,0),(1,0)$ を通る。また $4x^2(1-x^2)=1-(2x^2-1)^2\leq1$ なので $|y|\leq1$ であり、$\displaystyle x=\pm\dfrac1{\sqrt2}$ で上下の極値 $y=\pm1$ をとる。原点で交わる左右2つの輪からなる横向きの8の字を描く。媒介変数を $0$ から $2\pi$ まで増やすと、主要点は $$\displaystyle (1,0),\left(\frac1{\sqrt2},1\right),(0,0), \left(-\frac1{\sqrt2},-1\right),(-1,0), \left(-\frac1{\sqrt2},1\right),(0,0), \left(\frac1{\sqrt2},-1\right),(1,0)$$ の順に通る。

数列は隣接項比の等比性から積をとる。配置確率は赤玉を含む列数と各列内の個数分布で場合分けする。微分不等式はf(x)e^{x²}の単調性に帰着し、面積は左右対称性と部分積分で求める。媒介曲線は媒介変数消去後、対称性と極値・通過順を確認して形を確定する。