2福島県立医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

正五角形の中心を原点、半径を1とすると、$A_j=(\cos j\theta,\sin j\theta)$ である。

辺を $s$、対角線を $d$ とする。図2の大三角形 $A_1A_3A_4$ は角が $36^\circ,72^\circ,72^\circ$。角の二等分線 $A_4D$ により、$\triangle A_1DA_4$ は底角がともに $36^\circ$ なので $A_1D=A_4D$。また $\triangle A_3DA_4$ の角は $72^\circ,72^\circ,36^\circ$ だから $A_4D=A_3A_4=s$。従って $A_1D=s$。この小三角形は大三角形と相似で、対応する辺から $A_3D/s=s/d$、すなわち $A_3D=s^2/d$。よって $d=s+s^2/d$ であり、正の解から $d/s=(1+\sqrt5)/2$。正弦定理で $d/s=\sin72^\circ/\sin36^\circ=2\cos36^\circ$ を用い、二倍角公式を使えば所要の2値が得られる。

$\vec a_j$ を $A_j$ の位置ベクトルとすると、$\vec a_0+\vec a_2=2\cos72^\circ\vec a_1$、$\vec a_3+\vec a_4=2\cos144^\circ\vec a_1=-2\cos36^\circ\vec a_1$。重心の公式から $\vec b_1=(1+2\cos72^\circ)\vec a_1/3$、$\vec c_1=(1-2\cos36^\circ)\vec a_1/3$ となり、両方とも $OA_1$ 上にある。

一般の添字でも同様に $\vec b_i=(\sqrt5+1)\vec a_i/6$、$\vec c_i=(1-\sqrt5)\vec a_i/6$。ゆえに面積倍率はそれぞれの係数の二乗であり、$S_a:S_b:S_c=1:(\sqrt5+1)^2/36:(\sqrt5-1)^2/36=18:(3+\sqrt5):(3-\sqrt5)$。