3新潟大学 2003年 数学 第3問解答・解説

正四面体の各辺が $r$ なので $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=r$。隣り合う辺のなす角は60度より、$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=r^2/2$。

(1) Gは三角形ABCの重心だから $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}.$$

(2) $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$、$\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ と内積を計算すると $$(\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec b-\vec a)=0,\qquad (\vec a+\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)=0.$$ 実際、各式では等しい辺の長さによる $-r^2+r^2$ が消え、残る二つの交差内積も等しい。したがって $OG\perp AB$、$OG\perp BC$。ABとBCは平面ABC内で交わるので、OGは平面ABCに垂直。

(3) まず $$\displaystyle |OG|^2=\frac{1}{9}|\vec a+\vec b+\vec c|^2 =\frac{3r^2+6(r^2/2)}9=\frac{2r^2}{3}.$$ OH:HG=3:1より $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}/4=(\vec a+\vec b+\vec c)/4$、ゆえに $|OH|^2=9|OG|^2/16=3r^2/8$。また $$\displaystyle \overrightarrow{HA}=\vec a-\overrightarrow{OH}=\frac{3\vec a-\vec b-\vec c}{4}.$$ 内積を展開すると $|3\vec a-\vec b-\vec c|^2=9r^2+r^2+r^2-6(r^2/2)-6(r^2/2)+2(r^2/2)=6r^2$。従って $|HA|^2=3r^2/8=|OH|^2$、両方正の長さなので $OH=HA=\sqrt6r/4$。

(4) 三角形OHAに余弦定理を使い、$OA=r$、$OH^2=HA^2=3r^2/8$ を代入すると $$\displaystyle \cos\angle OHA=\frac{OH^2+HA^2-OA^2}{2\,OH\,HA}=-\frac13.$$