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新潟大学／2003年度

新潟大学 2003年 数学 第6問解答・解説

いろいろな式

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1問題

新潟大学2003年度第6問

p と q は相異なる実数とし，整式 P(x)=x3+px+qP(x)=x^3+px+q と Q(x)=x3+qx+pQ(x)=x^3+qx+p は共通因数 R(x)R(x) をもつとする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) R(x)R(x) は2次式ではないことを示せ。

(2) r を実数として，R(x)=x+rR(x)=x+r とするとき，p と q の関係および r の値を求めよ。

(3) p=0 のときを考える。整式 S(x)S(x) は P(x)P(x) と Q(x)Q(x) で共に割り切れる整式のうち次数が最小で，最高次数の項の係数が1であるとする。このような S(x)S(x) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) Rは2次式ではない。(2)p+q=−1(2) p+q=−1、r=−1r=−1。(3)S(x)=x5+x4−x2−x(3) S(x)=x^5+x^4−x^2−x。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) P(x)−Q(x)=(p−q)x+(q−p)=(p−q)(x−1)P(x)-Q(x)=(p-q)x+(q-p)=(p-q)(x-1) であり、p≠qp\ne q だから P−QP-Q は1次式である。RR は P,QP,Q の共通因数なので R∣(P−Q)R\mid(P-Q)。したがって非定数の RR の次数は1以下であり、2次式ではない。

(2) R(x)=x+rR(x)=x+r は1次のモニック式で、R∣(p−q)(x−1)R\mid(p-q)(x-1) である。よって x+r=x−1x+r=x-1、すなわち r=−1r=-1。さらに x−1∣P(x)x-1\mid P(x) なので剰余定理から P(1)=1+p+q=0P(1)=1+p+q=0、したがって p+q=−1p+q=-1。

(3) (2)より p+q=−1p+q=-1 であり、p=0p=0 のとき q=−1q=-1。このとき P(x)=x3−1=(x−1)(x2+x+1),Q(x)=x3−x=x(x−1)(x+1).P(x)=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),\qquad Q(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1). x2+x+1x^2+x+1 の判別式は −3-3 で、また x=0,1,−1x=0,1,-1 を代入した値はいずれも0でない。したがって上記の因数のうち両方に共通するのは x−1x-1 だけである。両方の多項式で割り切れる多項式は、x,x−1,x+1,x2+x+1x, x-1, x+1, x^2+x+1 をそれぞれ少なくとも1回ずつ因数にもつ。これらを一度ずつ掛けたものが最小次数のモニックな共通倍数なので、 S(x)=x(x−1)(x+1)(x2+x+1)=x(x+1)(x3−1)=x5+x4−x2−x.S(x)=x(x-1)(x+1)(x^2+x+1)=x(x+1)(x^3-1)=x^5+x^4-x^2-x.

この問題で使う考え方

  • HS_II_POLYNOMIAL_SUBTRACTION
  • HS_II_FACTOR_THEOREM
  • HS_II_COMMON_MULTIPLE

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