1浜松医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

条件(II)より答案Aにあるとおり、係数が整数の多項式 $g(x)$ を用いて $$f(x)=(x-1)^2g(x)$$ と表せる。条件(III)の方程式は $x=1$ で成り立つ。実際、条件(II)より $f(1)=0$ であり、右辺も $1\cdot(1-1)\cdot(1-2)=0$ だからである。この方程式は異なる整数解をもつので、そのうち $1$ でない整数解を $x_0$ とする。

$x_0$ は条件(III)の方程式を満たすから、 $$(x_0-1)^2g(x_0)=x_0(x_0-1)(x_0-2)$$ である。$x_0\ne1$ より両辺を $x_0-1$ で割ると、 $$(x_0-1)g(x_0)=x_0(x_0-2)$$ を得る。$x_0$ と $g(x_0)$ は整数なので、左辺は $x_0-1$ の倍数である。したがって $x_0-1$ は右辺も割り切る。一方、 $$x_0(x_0-2)=(x_0-1)^2-1$$ だから、$x_0-1$ は $-1$ を割り切る。よって $x_0-1=1$ または $x_0-1=-1$ であり、$x_0=2$ または $x_0=0$ となる。これで (a) が示された。

もし $x_0=0$ なら、条件(III)の方程式から $f(0)=0$ となり、$f(0)$ は $4$ で割り切れる。これは条件(I)に反する。したがって $x_0=2$ である。このとき、上の等式 $(x_0-1)g(x_0)=x_0(x_0-2)$ に $x_0=2$ を代入して $g(2)=0$ を得る。因数定理により、係数が整数の多項式 $h(x)$ を用いて $$g(x)=(x-2)h(x),\qquad f(x)=(x-1)^2(x-2)h(x)$$ と表せる。

この因数分解を $x=0$ に代入すると $$f(0)=-2h(0)$$ である。条件(I)より $-2h(0)$ は $4$ で割り切れないから、整数 $h(0)$ は奇数である。$h(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$（各 $a_k$ は整数）と書けば、 $$h(4)=a_0+4a_1+4^2a_2+\cdots+4^na_n$$ であり、$a_0=h(0)$ は奇数、残りの項はすべて偶数である。ゆえに $h(4)$ は奇数であり、(b) が示された。

最後に、ある整数 $m$ を用いて $h(4)=2m+1$ と書ける。したがって $$f(4)=(4-1)^2(4-2)h(4)=18(2m+1)=36m+18.$$ よって $f(4)$ を $36$ で割ったときの余りは $18$ である。