I関西医科大学 2023年 数学 第I問解答・解説

関西医科大学 2023 数学 I（A）

問題

(1) $(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab$ を因数分解する。

(2) $(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)=4ab$ を満たす整数 $a,b$ の組のうち $a<b$ のものの個数と、$a,b$ がともに正の整数である組を求める。

解答

(1)

$$\begin{aligned} (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab &=(a^2-1)(b^2-1)-4ab\\ &=a^2b^2-a^2-b^2+1-4ab\\ &=(ab-1)^2-(a+b)^2\\ &=(ab-a-b-1)(ab+a+b-1). \end{aligned}$$

よって因数分解は $$\boxed{(ab-a-b-1)(ab+a+b-1)}$$ である。

(2)

(1)の因数分解を用いると、与式の等式は $$(ab-a-b-1)(ab+a+b-1)=0$$ と同値である。整数の積が $0$ となるのは少なくとも一方の因数が $0$ のとき、かつそのときに限るので、次の二つの場合を解けばよい。

**場合1：** $$ab-a-b-1=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a-1)(b-1)=2.$$ $x=a-1,\ y=b-1$ とおく。条件 $a<b$ は $x<y$ と同値で、$x,y$ は積が $2$ となる整数である。積が正なので $x,y$ は同符号である。正の因数の組は $(1,2),(2,1)$、負の因数の組は $(-1,-2),(-2,-1)$ であり、$x<y$ を満たすものは $(1,2),(-2,-1)$ だけである。したがって $$(a,b)=(2,3),\ (-1,0).$$

**場合2：** $$ab+a+b-1=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a+1)(b+1)=2.$$ 今度は $x=a+1,\ y=b+1$ とおくと、やはり $x<y$ で $xy=2$ である。上と同じ因数の列挙から $(x,y)=(1,2),(-2,-1)$ となり、 $$(a,b)=(0,1),\ (-3,-2).$$

二つの場合から得られた組は重複せず、いずれも元の積が $0$ となる因数分解を満たすので、必要十分に全解である。よって $a<b$ の組は $$(-3,-2),\ (-1,0),\ (0,1),\ (2,3)$$ の4組である。そのうち $a,b$ がともに正であるのは $(2,3)$ のみ。

$$\boxed{\text{ア}=4,\qquad \text{イ}=(2,3)}$$

最終答案

- (1) $(ab-a-b-1)(ab+a+b-1)$ - (2) $\text{ア}=4,\ \text{イ}=(2,3)$

使用した解法

平方差を用いて因数分解し、積が $0$ となる条件を二つの場合に分けた。各場合は積が $2$ となる整数因数の組を $a<b$ の条件で絞った。