1日本大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) 共有点では二つの放物線の $y$ 座標が等しいから $$4x^2-7x-1=x^2-2x+1$$ すなわち $$3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)=0$$ である。よって共有点の $x$ 座標は $x=-1/3,\,2$ である。それぞれの $y$ 座標は $$\displaystyle x=-\frac13\text{ のとき }y=\frac{16}{9},\qquad x=2\text{ のとき }y=1$$ となる。したがって、両点を通る直線の傾きは $$\displaystyle \frac{1-16/9}{2-(-1/3)}=-\frac13$$ であり、点 $(2,1)$ を通るので切片は $5/3$。求める直線は $$\displaystyle y=-\frac13x+\frac53$$ である。

(2) $U=\{1,2,\ldots,100\}$ である。$A\cap B\cap C$ は30の倍数全体なので、 $$\displaystyle n(A\cap B\cap C)=\left\lfloor\frac{100}{30}\right\rfloor=3.$$ また $n(A)=50$、$A\cap B$ は6の倍数全体、$A\cap C$ は10の倍数全体であるから $$\displaystyle n(A\cap B)=\left\lfloor\frac{100}{6}\right\rfloor=16,\qquad n(A\cap C)=\left\lfloor\frac{100}{10}\right\rfloor=10.$$ $A\cap B\cap C$ を二重に引いた分を戻すと $$\begin{aligned} n\bigl(A\cap\overline{B\cup C}\bigr) &=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\\ &=50-16-10+3=27. \end{aligned}$$

(3) 与えられた等式の左辺は $$a^4-b^4+c^2(a^2-b^2) =(a^2-b^2)(a^2+b^2+c^2)$$ と因数分解できる。三角形の辺の長さは正なので $a^2+b^2+c^2>0$。したがって $a^2=b^2$、ゆえに $a=b$ である。余弦定理と $\cos120^\circ=-1/2$ から $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ=a^2+b^2+ab=3a^2.$$ $c=8$ かつ $a>0$ より $$\displaystyle a=\frac{8}{\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{3}.$$

(4) 上側の境界を $u(x)=3-x/5$、下側の二直線を $$\displaystyle \ell_1(x)=x-3,\qquad \ell_2(x)=-\frac23x+2$$ とおく。$x\geq0$ で $\ell_2(x)\leq u(x)$ は常に成り立ち、$\ell_1(x)\leq u(x)$ は $x\leq5$ と同値である。したがって $0\leq x\leq5$。また $$\displaystyle \ell_2(x)-\ell_1(x)=5-\frac53x$$ より、$0\leq x\leq3$ では下側境界が $\ell_2$、$3\leq x\leq5$ では $\ell_1$ である。

固定した $x$ では $x+3y$ は $y$ とともに増加する。よって最大値は上側境界上で調べればよく、 $$\displaystyle x+3u(x)=9+\frac25x\qquad(0\leq x\leq5)$$ は増加するから、最大値は $x=5,\ y=2$ のときの $11$ である。一方、最小値は下側境界上で調べればよい。$0\leq x\leq3$ では $$x+3\ell_2(x)=6-x$$ であり、$3\leq x\leq5$ では $$x+3\ell_1(x)=4x-9.$$ 前者は減少、後者は増加するため、最小値は両者の接続点 $(3,0)$ における $3$ である。