1鹿児島大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) 点A、Bからの距離が等しい条件は、$$(x-3)^2+(y-1)^2=(x-1)^2+(y-4)^2$$ である。展開して整理すると$$-4x+6y-7=0$$ となるから、直線lの方程式は$$4x-6y+7=0$$ である。領域を判定するため、$F(x,y)=\{(x-1)^2+(y-4)^2\}-\{(x-3)^2+(y-1)^2\}=4x-6y+7$ とおく。$F=0$ が直線lであり、$F(A)=13>0$、$F(P)=3>0$ だから、PはAのある領域に属する。

(2) $A\cap B$ の要素数は$A$ の要素数30以下なので、最大値は30以下である。$A\subset B$ とすれば$n(A\cap B)=30$ となり、最大値は30である。一方、$$n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)\ge 30+80-100=10$$ である。$A\cup B=U$ となるようにすれば$n(A\cap B)=10$ となるので、最小値は10である。

(3) 方程式を8で割った余りに注目すると$$5x\equiv139\equiv3\pmod 8$$ である。5を掛けると$25x\equiv15\pmod 8$、すなわち$x\equiv7\pmod 8$ だから、$x=8k+7$（$k$ は整数）とおける。これをもとの方程式に代入して$$\displaystyle y=\frac{139-5(8k+7)}8=13-5k$$ を得る。$x>0$、$y>0$ より$8k+7>0$、$13-5k>0$ なので、整数$k$ は$0,1,2$ に限られる。したがって候補は$(x,y)=(7,13),(15,8),(23,3)$ である。実際、$5\cdot7+8\cdot13=139$、$5\cdot15+8\cdot8=139$、$5\cdot23+8\cdot3=139$ であり、いずれも条件を満たす。