2鹿児島大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle y=x+\dfrac1x$ より $\displaystyle x^2+\dfrac1{x^2}=y^2-2$ である。また $$\displaystyle \frac{f(x)}{x^2} =x^2+2\alpha x+(\alpha^2-\beta^2+2)+\frac{2\alpha}{x}+\frac1{x^2} =y^2+2\alpha y+\alpha^2-\beta^2 =(y+\alpha)^2-\beta^2.$$

(2) (1) に $\displaystyle \alpha=\dfrac12,\ \beta=\dfrac32$ を代入すると $$\displaystyle \frac{f(x)}{x^2} =\left(y+\frac12\right)^2-\frac94 =(y+2)(y-1).$$ $f(0)=1$ なので、$f(x)=0$ の解は $x\ne0$ であり、これは $y=-2$ または $y=1$ と同値である。$y=-2$ のとき $$\displaystyle x+\frac1x=-2\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (x+1)^2=0$$ より $x=-1$ を得る。一方、$y=1$ のとき $x^2-x+1=0$ となるが、その判別式は $1-4=-3<0$ である。したがって実数解は $x=-1$ である。

(3) $t$ を実数として $\displaystyle x+\dfrac1x=t$ とおくと、$x\ne0$ であるから $$x^2-tx+1=0$$ となる。この二次方程式の判別式は $t^2-4$ なので、$|t|<2$ なら実数解はなく、$|t|=2$ なら異なる実数解は1個、$|t|>2$ なら異なる実数解は2個である。(1) より $f(x)=0$ は $$y=-\alpha+\beta\quad\text{または}\quad y=-\alpha-\beta$$ と同値である。

まず $\beta\ne0$ とする。このとき二つの $y$ の値は異なる。異なる実数解がちょうど1個となるには、一方の値が $2$ または $-2$、他方が $-2$ と $2$ の間にあることが必要十分である。$b=|\beta|>0$ とおくと、二つの値は $-\alpha-b,\ -\alpha+b$ である。上側の値が $2$ で下側の値が $-2<-\alpha-b<2$ を満たす場合は $$-\alpha+b=2,\qquad -2<-\alpha-b<2,$$ すなわち $0<b<2,\ \alpha=b-2$ であり、$-2<\alpha<0,\ |\beta|=\alpha+2$ を得る。下側の値が $-2$ で上側の値が $-2<-\alpha+b<2$ を満たす場合は $$-\alpha-b=-2,\qquad -2<-\alpha+b<2,$$ すなわち $0<b<2,\ \alpha=2-b$ であり、$0<\alpha<2,\ |\beta|=2-\alpha$ を得る。

次に $\beta=0$ とすると、二つの値はともに $-\alpha$ である。異なる実数解がちょうど1個となるのは $-\alpha=2$ または $-\alpha=-2$ のときに限るから、$(\alpha,\beta)=(-2,0),(2,0)$ である。これらを上の条件に合わせると、求める組は $$-2\le\alpha<0,\quad |\beta|=\alpha+2, \qquad\text{または}\qquad 0<\alpha\le2,\quad |\beta|=2-\alpha$$ である。