4鹿児島大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) $z\ne0$ の絶対値は $r>0$ なので， $$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\quad \frac1z=\frac1r(\cos\theta-i\sin\theta),\quad \bar z=r(\cos\theta-i\sin\theta).$$

(2) $r=1$ のとき，倍角公式を使うと $$\displaystyle z^2=\cos2\theta+i\sin2\theta,\qquad \frac{\bar z}{z}=\cos2\theta-i\sin2\theta.$$ したがって $w=2\cos2\theta$ は実数で，$-2\le w\le2$。また $\theta$ が動くと $\cos2\theta$ は -1以上1以下のすべての値をとるので，軌跡は実軸上の線分 $$y=0,\qquad -2\le x\le2$$ である。

(3) $|z|=r>1$ とすれば $$\displaystyle z^2=r^2(\cos2\theta+i\sin2\theta),\qquad \frac{\bar z}{z}=\cos2\theta-i\sin2\theta.$$ よって $$x=(r^2+1)\cos2\theta,\qquad y=(r^2-1)\sin2\theta.$$ $\cos^2 2\theta+\sin^2 2\theta=1$ から媒介変数を消去すると，曲線 $C$ は $$\displaystyle \boxed{\frac{x^2}{(r^2+1)^2}+\frac{y^2}{(r^2-1)^2}=1}.$$ $\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動けば $2\theta$ は $0$ から $4\pi$ まで動くため，この媒介表示は楕円を二周するが，軌跡は楕円全体である。

(4) $A=r^2+1,\ B=r^2-1$ とおく。楕円の面積は対称性より $$\displaystyle S=4B\int_0^A\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\,dx.$$ $x=A\sin u$（$0\le u\le\pi/2$）と置くと $$\displaystyle S=4AB\int_0^{\pi/2}\cos^2u\,du =\pi AB =\boxed{\pi(r^4-1)}.$$