愛媛大学 2018年数学第6問解答・解説

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1問題

愛媛大学2018年度第6問

（理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）・医学部）次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f(x)=\log(\sin x)$ のグラフ $y=f(x)$ 上の点 $\displaystyle \left(\frac{3\pi}{4},f\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right)$ における接線の方程式を求めよ。

(2) 関数 $f(x)=xe^{-x^2}$ に対して、第2次導関数 $f''(x)$ を求めよ。

(3) 定積分 $\displaystyle \int_1^2\frac{e^x}{e^x-1}\,dx$ を求めよ。

(4) 条件 $|z-2-i|=1$ を満たす複素数 $z$ に対して、 $|z|$ の最小値を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

小問照合

・ (1) 接線 $y=-x+3\pi/4-(\log2)/2$ 。傾き $\cot(3\pi/4)=-1$ 、関数値 $-(\log2)/2$ で一致。

・ (2) $f''(x)=2x(2x^2-3)e^{-x^2}$ 。積・合成関数の微分で一致。

・ (3) $\log(e+1)$ 。 $t=e^x-1$ の置換で一致。

・ (4) $\sqrt5-1$ 。中心 $(2,1)$ 、半径1の円と原点の距離差で一致。

単元: 数学III（対数・三角関数、微分・積分）、数学C（複素数平面）。

方法: 接線の傾き、積・合成関数の2階微分、置換積分、円上の距離最小化。

テーマ: 微積分の基本計算と複素平面上の距離最小化。

この問題で使う考え方

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