9愛媛大学 2018年 数学 第9問解答・解説

各回、8頂点から無作為に1頂点を選ぶので、順序つきの選び方を等確率として数える。 (1) 3点が異なる場合は $8\cdot7\cdot6$ 通りだから $$\displaystyle \frac{8\cdot7\cdot6}{8^3}=\frac{21}{32}.$$ (2)(3) 順序を除いた3頂点は $\displaystyle \binom83=56$ 組。各頂点の座標を0または1とし、2頂点間で異なる座標数を $k$ とする。辺、面対角線、空間対角線に対し $k=1,2,3$ である。3対の $k$ の和は偶数である。実際、各座標について3頂点の値が同じなら差の個数は0、異なるなら2だからである。また空間対角線をなす対は高々1つ。従って可能な型は次の3つとなる。

・ $(1,1,2)$：1つの面から3頂点を選ぶ。$\displaystyle 6\binom43=24$ 組で、断面は正方形。

・ $(2,2,2)$：座標和が偶数の4頂点または奇数の4頂点から3頂点を選ぶ。$\displaystyle 2\binom43=8$ 組。代表を $(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)$ とすると平面は $x+y+z=2$。立方体との共通部分はこの3頂点を頂点とする三角形。

・ $(1,2,3)$：空間対角線の4通りと残りの頂点6通りで24組。代表を $(0,0,0),(1,0,0),(1,1,1)$ とすると平面は $y=z$、断面は4頂点 $(0,0,0),(1,0,0),(1,1,1),(0,1,1)$ の長方形。

代表以外も立方体の回転や対称移動で同じ形になる。合計は56組で尽くされる。従って $$\displaystyle (2)\quad \frac{8\cdot3!}{8^3}=\frac3{32},\qquad (3)\quad\frac{(24+24)\cdot3!}{8^3}=\frac9{16}.$$ (4) 同一平面上の相異なる4頂点の組は12組である。上の四角形断面の48個の3頂点組は、各断面につき4組ずつ数えられるので $48/4=12$ となる。三角形断面の平面には頂点が3個しかなく4頂点に拡張できないため、他の場合はない。 異なる頂点が3個以下なら必ず同一平面上にある。従って求める確率は $$\displaystyle \frac{8^4-8\cdot7\cdot6\cdot5+12\cdot4!}{8^4} =\frac{2416+288}{4096}=\frac{169}{256}.$$