7愛媛大学 2018年 数学 第7問解答・解説

(1) $P,Q,R$ を表す複素数 $p,q,r$ について，点 $R$ が線分 $PQ$ を $t:(1-t)$ に内分することから $$r=(1-t)p+tq$$ である。これに $p_1=\alpha p+\beta,\ q_1=\alpha q+\beta,\ r_1=\alpha r+\beta$ を用いて $r_1$ を計算すると， $$r_1=\alpha r+\beta=\alpha\{(1-t)p+tq\}+\beta =(1-t)(\alpha p+\beta)+t(\alpha q+\beta)$$ となる（$\beta$ の係数が $(1-t)+t=1$ になることを用いた）。ゆえに $$r_1=(1-t)p_1+tq_1.$$ （検算）$t=0$ とすると $R=P$ であるべきで，上式は $r_1=p_1$ となり整合する。$t=1$ でも同様に $r_1=q_1$ となり整合する。

(2)(i) $-2+2i$ について， $$|-2+2i|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$$ 実部が負，虚部が正であるから偏角は第2象限にあり， $$\displaystyle \tan\theta=\frac{2}{-2}=-1,\qquad \theta=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi$$ （$0\leqq\theta<2\pi$ の範囲でこれが一意に定まる）。

(2)(ii) $z$ が $0,\ 1,\ 1+i,\ i$ を頂点とする正方形の周を動くとき，$w=(-2+2i)z$（$h=0$）の像を，各頂点について計算する。 $$\begin{aligned} z=0 &\ \longmapsto\ w=0,\\ z=1 &\ \longmapsto\ w=-2+2i,\\ z=1+i &\ \longmapsto\ w=(-2+2i)(1+i)=-2-2i+2i+2i^2=-4,\\ z=i &\ \longmapsto\ w=(-2+2i)i=-2i+2i^2=-2-2i. \end{aligned}$$ $w=(-2+2i)z$ は原点を中心とする「$2\sqrt2$ 倍の拡大」と「$\displaystyle \dfrac{3}{4}\pi$ の回転」を合成した相似変換（一次変換）であるから，正方形の像もまた正方形であり，頂点の順序も保たれる。したがって $D_0$ は $$0,\ -2+2i,\ -4,\ -2-2i$$ を頂点とする正方形である。実際，隣り合う辺のベクトルは $(-2,2)$ と $(-2,-2)$ で，内積は $(-2)(-2)+(2)(-2)=0$ となり直交し，長さはいずれも $\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt2$ で等しいので，正方形であることが確認できる。

対角線は $0$ と $-4$ を結ぶ線分（実軸方向，長さ$4$）と，$-2+2i$ と $-2-2i$ を結ぶ線分（虚軸方向，長さ$4$）で，ともに中点 $(-2,0)$ で直交に交わる。ゆえに $D_0$ は中心 $(-2,0)$，対角線の長さ$4$の正方形（対角線が座標軸に平行な「ひし形状」の正方形）で，方程式で表すと $$D_0:\ |x+2|+|y|\leqq 2.$$ 概形は，点 $(0,0),\ (-2,2),\ (-4,0),\ (-2,-2)$ を頂点とし，これらを順に線分で結んだ正方形（各辺は座標軸に対して $45^\circ$ 傾いている）である。

(2)(iii) $w=(-2+2i)z+hi$ であるから，$D_h$ は $D_0$ を虚軸方向（$y$ 軸方向）に $h$ だけ平行移動した図形である。よって $D_h$ は中心 $(-2,h)$，対角線の長さ$4$の正方形で， $$D_h:\ |x+2|+|y-h|\leqq 2,$$ 頂点は $(0,h),\ (-2,h+2),\ (-4,h),\ (-2,h-2)$ である。

$D_h$ の $x$ 座標は常に $-4\leqq x\leqq 0$ の範囲にあり，これは $A$ の条件 $-5\leqq x\leqq5$ に常に含まれる。したがって $A$ と $D_h$ の共通部分は，$x$ の制限では切られず，$y$ の範囲 $4\leqq y\leqq 6$ とだけ関係する。

$D_h$ を高さ $y$ で水平に切った切り口（$x$ 方向の幅）は，$|x+2|\leqq 2-|y-h|$ より $$w(y)= \begin{cases} 4-2|y-h| & (h-2\leqq y\leqq h+2)\\[2pt] 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$$ である（$y=h$ で最大幅 $4$，$y=h\pm2$ で幅 $0$ の三角形状の分布）。$S(h)$ はこの $w(y)$ を $4\leqq y\leqq6$ の範囲で積み上げた面積（台形・三角形の面積の和）である。

以下，$h$ の位置で場合分けする。

(ア) $h\leqq 2$ または $h\geqq 8$ のとき

$D_h$ の $y$ の範囲 $h-2\le y\le h+2$ と $4\le y\le6$ が交わらないか，一点でしか接しないので $S(h)=0$。

(イ) $2< h\leqq 4$ のとき

このとき $h+2\leqq 6$ なので，共通部分の $y$ の範囲は $4\le y\le h+2$ で，$y\geqq h$ の側だけを使う。両端の幅は $$w(h+2)=0,\qquad w(4)=4-2(h-4)=2h-4\ (>0).$$ これは底辺 $(h+2)-4=h-2$，高さ $2h-4$ の直角三角形の面積なので $$\displaystyle S(h)=\frac12(h-2)(2h-4)=(h-2)^2.$$ これは $2<h\leqq4$ で単調増加，$h=4$ で $S(4)=4$。

(ウ) $6\leqq h< 8$ のとき

(イ)と対称に，共通部分は $h-2\le y\le6$ で $$S(h)=(8-h)^2$$ となり，$6\leqq h<8$ で単調減少，$h=6$ で $S(6)=4$。

(エ) $4< h< 6$ のとき（山の頂点 $y=h$ が $4\le y\le6$ の内部にある場合）

$h-2<4$ かつ $h+2>6$ なので，共通部分は $4\le y\le6$ 全体であり，$y=h$ で二つの台形に分けて計算する。

・ $4\leqq y\leqq h$ の部分：両端の幅 $w(4)=4-2(h-4)=12-2h$，$w(h)=4$，幅 $h-4$ の台形。 $$\displaystyle S_1=\frac12\{(12-2h)+4\}(h-4)=(8-h)(h-4).$$

・ $h\leqq y\leqq 6$ の部分：両端の幅 $w(h)=4$，$w(6)=4-2(6-h)=2h-8$，幅 $6-h$ の台形。 $$\displaystyle S_2=\frac12\{4+(2h-8)\}(6-h)=(h-2)(6-h).$$

よって $$S(h)=S_1+S_2=(8-h)(h-4)+(h-2)(6-h).$$ 展開すると $$(8-h)(h-4)=-h^2+12h-32,\qquad (h-2)(6-h)=-h^2+8h-12$$ なので $$S(h)=-2h^2+20h-44=-2(h-5)^2+6.$$ これは $4<h<6$ における（そして境界を含めても）$h=5$ で最大値 $6$ をとる二次関数である。

（境界での連続性の検算）$h\to4$ で $-2(4-5)^2+6=4$，(イ)の $S(4)=4$ と一致。$h\to6$ で $-2(6-5)^2+6=4$，(ウ)の $S(6)=4$ と一致し，各場合の式が矛盾なくつながっている。

以上，(イ)(ウ)では $S(h)\leqq4$，(エ)では $S(h)=-2(h-5)^2+6\leqq6$ で等号は $h=5$ のときに限る。ゆえに $$\boxed{S(h)\ \text{の最大値は}\ 6\quad(h=5\ \text{のとき})}$$ である。