3山形大学 2023年 数学 第3問解答・解説

$|\alpha|=1$ より $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ と書ける。このとき $\beta=-\overline\alpha=-\cos\theta+i\sin\theta$。

(1)　 $$\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2i}=\frac{2i\sin\theta}{2i}=\sin\theta.$$

(2)　 $\beta=-\overline\alpha$ より $\overline\beta=-\alpha$ なので $\alpha\overline\beta=-\alpha^2$。$\alpha=e^{i\theta}$ と表せば $\alpha\overline\beta=e^{i(2\theta+\pi)}$ であるから、$$\arg(\alpha\overline\beta)\equiv 2\theta+\pi\pmod{2\pi}.$$

(3)　 $z=\alpha-i,\quad w=\beta-i$ とおくと $$\displaystyle t=\frac{z\overline w+\overline z w}{2}=\operatorname{Re}(z\overline w),$$ したがって t は実数である。また $\overline w=\overline\beta+i=-\alpha+i=-(\alpha-i)=-z$ より $$t=\operatorname{Re}\{- (\alpha-i)^2\}=1-\cos2\theta-2\sin\theta=2\sin^2\theta-2\sin\theta.$$ $u=\sin\theta$ とおけば $-1\le u\le1$ であり $$\displaystyle t=2\left(u-\frac12\right)^2-\frac12.$$ よって最小値は u=1/2 のとき -1/2。上に開く二次関数なので最大値は区間の端点でとり、$t(-1)=4,\quad t(1)=0$ より最大値は 4。