20自治医科大学 2018年 数学 第20問解答・解説

1000から9999までの4桁整数は $$9\cdot10^3=9000$$ 個ある。余事象として、4つの数字がすべて異なる整数を数える。千の位は0以外の9通り、百の位は千の位と異なる数字の9通り、十の位は8通り、一の位は7通りなので、その個数は $$9\cdot9\cdot8\cdot7=4536$$ 個である。したがって、同じ数字が2つ以上現れる整数は $$9000-4536=4464$$ 個であり、 $$\displaystyle p=\frac{4464}{9000}=\frac{62}{125}.$$ よって $$\displaystyle \frac{125}{31}p =\frac{125}{31}\cdot\frac{62}{125} =2.$$ 答えは $\boxed{2}$、共通選択肢では $\boxed{\text{サ}}$ である。