23自治医科大学 2018年 数学 第23問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、曲線 $y=1/x$ のその点における接線の傾きは $-1/t^2$ である。接点 $(t,1/t)$ における接線が $P(k,k)$ を通る条件は $$\displaystyle k-\frac1t=-\frac1{t^2}(k-t), \qquad\text{すなわち}\qquad k=\frac{2t}{t^2+1}.$$ したがって、接点の $x$ 座標は $$kt^2-2t+k=0$$ の2つの正の異なる解である。この2解の積は $1$ なので、2解を $t$ と $1/t$ と書ける。点の名前を入れ替えて $t>1$ とする。このとき $k=2t/(t^2+1)$ から $1/t<k<1<t$ となる。

2本の接線の傾きはそれぞれ $-1/t^2$ と $-t^2$ である。$0<\beta<\alpha<\pi/2$ を $$\displaystyle \tan\beta=\frac1{t^2},\qquad \tan\alpha=t^2$$ で定めると、2直線の鋭角を $\phi=\alpha-\beta$ と表せる。上の大小関係より、$\overrightarrow{PQ}$ は右下向き、$\overrightarrow{PR}$ は左上向きであるから、実際の角は $\angle QPR=\pi-\phi$ である。条件 $\angle QPR=2\pi/3$ から $\phi=\pi/3$。加法定理と $\tan\alpha\tan\beta=1$ により $$\displaystyle \sqrt3=\tan\phi =\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} =\frac{t^2-t^{-2}}{2}.$$ $u=t^2>0$ とおくと $u-u^{-1}=2\sqrt3$、したがって $$u^2-2\sqrt3\,u-1=0,\qquad u=2+\sqrt3,$$ （もう一方の解 $\sqrt3-2$ は負である）。よって $$\displaystyle (t^2+1)^2=(3+\sqrt3)^2=6(2+\sqrt3)=6u, \qquad k^2=\frac{4t^2}{(t^2+1)^2}=\frac{4u}{6u}=\frac23.$$ したがって $6k^2=4$（選択肢ナ）。

検算として $k^2=2/3$ は $0<k<1$ を満たし、接点方程式は判別式 $4(1-k^2)>0$、積 $1$ の正の異なる2解をもつ。したがって、条件にある異なる2接点が実際に存在する。