7自治医科大学 2018年 数学 第7問解答・解説

$t=\sin x$ とおくと、$t$ は $-1\le t\le1$ の値をとり、特に $\displaystyle t=-\frac13$ となる $x$ が存在する。この値を不等式に代入すると $$\displaystyle \frac{a}{9}-2+1\ge0$$ でなければならない。したがって $$a\ge9$$ が必要である。

逆に $a\ge9$ とすると、任意の実数 $t$ に対して $$at^2+6t+1=(3t+1)^2+(a-9)t^2\ge0$$ となる。よって $t=\sin x$ を戻せば、不等式はすべての $x$ で成立する。したがって成立する $a$ の範囲は $a\ge9$ であり、その最小値は $\boxed{9}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ワ}}$ である。