15自治医科大学 2018年 数学 第15問解答・解説

三角形の頂点 $A,B,C$ の位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$、点 $P$ の位置ベクトルを $\mathbf{p}$ とする。条件を位置ベクトルで表すと $$4(\mathbf{a}-\mathbf{p})+5(\mathbf{b}-\mathbf{p})+3(\mathbf{c}-\mathbf{p})=\mathbf{0}$$ である。よって $$\displaystyle \mathbf{p}=\frac{4\mathbf{a}+5\mathbf{b}+3\mathbf{c}}{12} =\frac{4}{12}\mathbf{a}+\frac{5}{12}\mathbf{b}+\frac{3}{12}\mathbf{c}.$$ ここで $T$ を $\triangle ABC$ の面積とする。上の表示から、$P$ から直線 $AB$ までの距離は、$C$ から直線 $AB$ までの距離の $3/12$ 倍である。したがって、同じ底辺 $AB$ をもつ三角形の面積比より $$\displaystyle S_1=\frac{3}{12}T.$$ 同様に、$P$ から直線 $BC$ までの距離は $A$ から直線 $BC$ までの距離の $4/12$ 倍、$P$ から直線 $CA$ までの距離は $B$ から直線 $CA$ までの距離の $5/12$ 倍である。$P$ は $\triangle ABC$ の内部にあるから、それぞれの高さは正であり、 $$\displaystyle S_2=\frac{4}{12}T,\qquad S_3=\frac{5}{12}T.$$ よって $$S_1:S_2:S_3=3:4:5$$ となるので、$a=4,\ b=5$。したがって $$a+b-7=4+5-7=\boxed{2}.$$ 検算として、3つの面積の割合は $(3+4+5)/12=1$ で、点 $P$ を内部にもつ三角形の分割と一致する。求める値 $2$ は選択肢サに当たる。