12自治医科大学 2018年 数学 第12問解答・解説

直線 $PAB$ と弦 $AB$ の交点の中点を $M$ とする。円の中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分するので、$OM\perp AB$ かつ $AM=BM$ である。点の並びは $P,A,M,B$ となるから $$\displaystyle PM=\frac{PA+PB}{2},\qquad AM=\frac{PB-PA}{2}.$$ 直角三角形 $OPM$ と $OAM$ で三平方の定理を用いると $$OP^2=OM^2+PM^2,\qquad 16=OA^2=OM^2+AM^2.$$ この2式の差より $$\displaystyle \begin{aligned} OP^2-16 &=PM^2-AM^2\\ &=\left(\frac{PA+PB}{2}\right)^2-\left(\frac{PB-PA}{2}\right)^2\\ &=PA\cdot PB=9. \end{aligned}$$ よって $$|OP^2-16|=9$$ （共通選択肢はワ）。

検算：$PA,PB$ は正の長さなので右辺は正であり、絶対値を取っても値は9である。