3名古屋市立大学 2019年 数学 第3問解答・解説

サイコロを使って以下の①から③の操作を行うことで，図(a)にある $xy$ 平面上の点 $A_{1},\allowbreak A_{2},\allowbreak A_{3},\allowbreak A_{4},\allowbreak A_{5},\allowbreak A_{6}$ のいくつかを線分で結んだ折れ線または1点からなる図形を作る。 　 ① サイコロを投げて出た数字を投げた順番に並べる。ただし，一度出た数字がもう一度出たら，そこでサイコロを投げるのをやめるものとする。できた数字の列を $[i_{1},\allowbreak i_{2},\allowbreak\cdots,\allowbreak i_{n}]$ とする。 　 ② $n=2$ のとき，1点 $A_{i_{1}}$ からなる図形となる。$n\geq3$ のとき，$A_{i_{1}},\allowbreak A_{i_{2}},\allowbreak\cdots,\allowbreak A_{i_{n-1}}$ を線分で順次結ぶ。 　 ③ 最後の数字 $i_{n}$ が $i_{n-1}$ または $i_{n-2}$ と一致するとき，新たな点や線分を加えることなく作図を終了する。それ以外のときは，$A_{i_{n-1}}$ と $A_{i_{n}}$ を線分で結び作図を終了する。 　 例えば，$[3,4,6,5,5]$ や $[3,4,6,5,6]$ の順で数字が出たときの図形は図(b)となる。また，$[3,4,6,5,2,4]$ の順で数字が出たときの図形は図(c)となる。なお，点 $A_{1},\allowbreak A_{2},\allowbreak A_{3},\allowbreak A_{4},\allowbreak A_{5},\allowbreak A_{6}$ の座標は $$\displaystyle A_{1}=(1,0),\quad A_{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),\quad A_{3}=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}},\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right),$$ $$\displaystyle A_{4}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\quad A_{5}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right),\quad A_{6}=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ である。次の問いに答えよ。

(1) 作図終了後，図形が点 $A_{1},\allowbreak A_{2},\allowbreak A_{3},\allowbreak A_{4},\allowbreak A_{5},\allowbreak A_{6}$ のうち3点を頂点とする三角形となる確率を求めよ。 　 (2) 作図終了後，図形が点 $A_{1},\allowbreak A_{2},\allowbreak A_{3},\allowbreak A_{4},\allowbreak A_{5},\allowbreak A_{6}$ のうち3点を頂点とする直角三角形となる確率を求めよ。 　 (3) 作図終了後，図形の中に $A_{1},\allowbreak A_{2},\allowbreak A_{3},\allowbreak A_{4},\allowbreak A_{5},\allowbreak A_{6}$ のいずれかを3頂点とする直角三角形が含まれる確率を求めよ。 　 すべての問題について，求める手順をわかりやすく説明すること。