1名古屋市立大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle f(x)=\dfrac{2\log x}{x}$ は $0<x<1$ で負、$x=1$ で $0$、$x>1$ で正である。また、$\displaystyle \dfrac{d}{dx}(\log x)^2=\dfrac{2\log x}{x}$ だから、$f(x)$ の原始関数は $(\log x)^2$ である。

$a\le x\le2a$ の範囲が $x=1$ より左にある場合、すなわち $\displaystyle 0<a\le\dfrac12$ では、

$$\displaystyle S(a)=-\int_a^{2a}f(x)\,dx=(\log a)^2-(\log(2a))^2.$$

$\displaystyle \dfrac12\le a\le1$ では区間が $x=1$ をまたぐので、

$$\displaystyle S(a)=-\int_a^1f(x)\,dx+\int_1^{2a}f(x)\,dx=(\log a)^2+(\log(2a))^2.$$

$a\ge1$ では区間は $x=1$ より右にあり、

$$\displaystyle S(a)=\int_a^{2a}f(x)\,dx=(\log(2a))^2-(\log a)^2.$$

したがって、これらが求める $S(a)$ である。隣り合う式は $\displaystyle a=\dfrac12,1$ で同じ値を与える。

(2) $c=\log2>0$、$u=\log a$ とおく。$\displaystyle \dfrac12\le a\le1$ のとき $-c\le u\le0$ であり、

$$\displaystyle S(a)=u^2+(u+c)^2=2\left(u+\dfrac c2\right)^2+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{c^2}{2}.$$

等号は $\displaystyle u=-\dfrac c2$、すなわち $\displaystyle a=e^{-c/2}=\dfrac1{\sqrt2}$ のときに成り立つ。この値は範囲 $\displaystyle \dfrac12\le a\le1$ に含まれる。

範囲外では、$\displaystyle 0<a\le\dfrac12$ なら $u\le-c$ なので $S(a)=-2cu-c^2\ge c^2$、また $a\ge1$ なら $u\ge0$ なので $S(a)=2cu+c^2\ge c^2$ である。$c>0$ より $\displaystyle c^2>\dfrac{c^2}{2}$ だから、全ての $a>0$ の中で $\displaystyle a=\dfrac1{\sqrt2}$ のときに最小となり、その最小値は $\displaystyle \dfrac{(\log2)^2}{2}$ である。