4名古屋市立大学 2019年 数学 第4問解答・解説

まず，$a_1=1,\ a_2=0$ である。$a_m=0$ となるとき，漸化式から$a_{m+1}=m$ となり，その後は正の間ずつ1減る。したがって$a_{m+1},a_{m+2},\ldots,a_{2m+1}$ は順に$m,m-1,\ldots,1,0$ であり，次に0となるのは第$2m+1$項である。

0となる項の番号を順に$b_0,b_1,\ldots$ とおくと，$b_0=2$，$b_{j+1}=2b_j+1$ である。よって$b_j+1=3\cdot2^j$，すなわち$b_j=3\cdot2^j-1$ となる。各$b_j$の直後から始まる部分は$b_j,b_j-1,\ldots,1,0$ で，その和は$b_j(b_j+1)/2$ である。

(1) $b_{11}=3\cdot2^{11}-1=6143<10000$，$b_{12}=3\cdot2^{12}-1=12287$ である。第$b_{12}$項までの各部分の最大値は高々$b_{11}=6143$ なので，10000が初めて現れるのは第$b_{12}+1=12288$項から始まる部分である。この項の値は12287であり，以後1ずつ減る。したがって$a_n=10000$ となる最小の番号は $$n=12288+(12287-10000)=14575.$$

(2) $b_0,b_1,\ldots,b_6=2,5,11,23,47,95,191$ である。初めの$1,0$と，$b_0$から$b_5$までのそれぞれの直後に始まる部分の和を加えると， $$S_{191}=1+3+15+66+276+1128+4560=6049.$$ 続く第192項からは$191,190,189,\ldots$ と並ぶ。最初の21項と22項の和をそれぞれ計算すると， $$\displaystyle S_{212}=6049+\frac{21(191+171)}{2}=9850<10000, \qquad S_{213}=6049+\frac{22(191+170)}{2}=10020\geq10000.$$ すべての項は0以上なので$S_n$は減少しない。ゆえに求める最小の番号は$n=213$である。