3日本大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$\text{(1)}\quad c_n=a_n+b_n$ と定めると，漸化式から $$c_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}=(5a_n+2b_n)+(-2a_n+b_n)=3(a_n+b_n)=3c_n.$$ また，$c_1=a_1+b_1=2$ なので，$\{c_n\}$ は初項2，公比3の等比数列である。したがって $$\boxed{c_n=2\cdot3^{n-1}}.$$

$\text{(2)}\quad b_n=c_n-a_n$ を第1の漸化式に代入すると $$a_{n+1}=5a_n+2(c_n-a_n)=3a_n+2c_n=3a_n+4\cdot3^{n-1}.$$ 両辺を $3^n$ で割ると $$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{3^n}=\frac{a_n}{3^{n-1}}+\frac43.$$ ここで $\displaystyle d_n=\dfrac{a_n}{3^{n-1}}$ とおくと，$d_1=1$，$\displaystyle d_{n+1}=d_n+\dfrac43$ であるから $$\displaystyle d_n=1+\frac43(n-1)=\frac{4n-1}{3}.$$ よって $$\displaystyle a_n=3^{n-1}d_n=\frac{4n-1}{3}\,3^{n-1}=\frac{4n-1}{9}\,3^n.$$ 確認として $n=1$ では $a_1=1$ であり，この式から $$a_{n+1}-3a_n=4\cdot3^{n-1}=2c_n$$ となるので，導いた漸化式にも一致する。