1日本大学 2007年 数学 第1問解答・解説

以下、$\vec a$,$\vec b$,$\vec c$ をそれぞれ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) とする座標で考える。立方体の辺は互いに垂直で長さ1だから、この座標で距離は通常の三平方の定理で求まる。頂点は E=(0,0,0), A=(1,0,0), F=(0,1,0), H=(0,0,1), B=(1,1,0), D=(1,0,1), G=(0,1,1) である。

(1)　 AP=x だから P=(1,x,0)。比より AQ=x, GR=$\displaystyle \frac{x}{2}$ なので R=(0,1,1-$\displaystyle \frac{x}{2}$) である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{PR}=R-P=(-1,1-x,1-\frac{x}{2})=-\vec a+(1-x)\vec b+(1-\frac{x}{2})\vec c.$$

(2)　 Q=(1,0,x) とする。平面 $\alpha$ の方程式を lX+mY+nZ=k とおく。PとQを代入し、$x>0$ を用いると m=n である。さらにRを代入すると $$\displaystyle k=m+n(1-\frac{x}{2})=m(2-\frac{x}{2}),\qquad k=l+mx.$$ この比例式で m=n=2 と選ぶと k=4-x, l=4-3x だから、平面の方程式は $$(4-3x)X+2Y+2Z=4-x.$$ 辺 BF 上の点を S=(s,1,0) とおくと、平面上にある条件から $$\displaystyle (4-3x)s+2=4-x,\qquad s=\frac{2-x}{4-3x}.$$ $0<x\le1$ では 0<s$\le$1 だから、これは確かに辺 BF 上の点である。よって $$\displaystyle \overrightarrow{PS}=S-P=(s-1,1-x,0)=-\frac{2(1-x)}{4-3x}\vec a+(1-x)\vec b.$$

(3)　 追加の交点として、平面$\alpha$と辺$DH$の交点を$T$、辺$HG$の交点を$U$とする。前問と同様に平面の式を使うと $$\displaystyle T=(s,0,1),\qquad U=(0,1-\frac{x}{2},1),\qquad s=\frac{2-x}{4-3x}.$$ したがって、切り口の頂点は順に P,Q,T,U,R,S である（$x=1$ では P=S=B, Q=T=D と重なり、零長の辺を除く）。 ここで d=4-3x とおく。座標差から $$\displaystyle PQ=\sqrt2x,\quad UR=\frac{x}{\sqrt2},\quad QT=SP=(1-x)\sqrt{1+\frac4{d^2}},\quad TU=RS=\frac{2-x}{2}\sqrt{1+\frac4{d^2}}.$$ ゆえに $$\displaystyle L(x)=\frac{3x}{\sqrt2}+\{2(1-x)+(2-x)\}\sqrt{1+\frac4{(4-3x)^2}} =\frac{3x}{\sqrt2}+\sqrt{(4-3x)^2+4}.$$ この式は x=1 でも重なった頂点に対応する零長の辺を含めて正しい。微分すると $$\displaystyle L'(x)=\frac3{\sqrt2}-\frac{3(4-3x)}{\sqrt{(4-3x)^2+4}}.$$ 区間 0<x$\le$1 では 4-3x>0。したがって L'(x)<0 となるのは 4-3x>2 (x<$\displaystyle \frac23$)、$L'(x)>0$ となるのは 4-3x<2 (x>$\displaystyle \frac23$) である。ゆえに最小は x=$\displaystyle \frac23$ で、 $$\displaystyle L(\frac23)=\frac{2}{\sqrt2}+\sqrt8=3\sqrt2.$$ 答えは $\displaystyle \boxed{x=\frac23,\quad L_{\min}=3\sqrt2}$.