2日本大学 2007年 数学 第2問解答・解説

(1) $y=x^2$の導関数は$y'=2x$なので，$A(4,16)$における接線は$y-16=8(x-4)$，すなわち$y=8x-16$である。よって$x$軸との交点は$B(2,0)$。 $l$は傾き$k<0$で$B$を通るから$y=k(x-2)$と表せる。$D$は$y=16$上にあるため，その$x$座標を$d$とすると $$\displaystyle d=2+\frac{16}{k}。$$ $D$が線分$AC$上にあり，$C$とは異なることは$-4<d\le4$である。$k<0$より$d<2$なので，上側の条件は自動的に満たされる。残る条件は $$\displaystyle 2+\frac{16}{k}>-4。$$ $k<0$に注意して変形すると$16>-6k$ではなく$16<-6k$，したがって$\displaystyle k<-\frac83$。ゆえに範囲は$\displaystyle k<-\frac83$。

(2) 放物線と$l$の交点の$x$座標は $$x^2=k(x-2),\qquad x^2-kx+2k=0$$ の二根$\alpha,\beta$である。解と係数の関係から$\alpha+\beta=k$，$\alpha\beta=2k$なので $$(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=k^2-8k。$$ $\beta<\alpha$より$\alpha-\beta>0$であり，$\alpha-\beta=\sqrt{k^2-8k}$。

(3) $d=2+16/k$，$f(x)=x^2$，$\ell(x)=k(x-2)$とおく。$k<-8/3$より$-4<d<2$である。$\ell(d)=16$だから$\ell(d)-f(d)=16-d^2>0$であり，$d$は二交点の間にある。また $$\ell(-4)-f(-4)=-6k-16>0,$$ 一方，$-4<d$なので$\beta<-4<d<\alpha$となる。さらに$\ell(4)-f(4)=2k-16<0$で$4>d$だから$\alpha<4$。したがって$\beta<-4<d<\alpha<4$であり，二つの図形の面積を積分で表せる。 $$h(x)=16-x^2,\qquad g(x)=\ell(x)-f(x)$$ とおくと，$DE,DA$側の面積$S_1$は $$\displaystyle S_1=\int_d^\alpha(16-\ell(x))\,dx+\int_\alpha^4(16-f(x))\,dx =\int_d^4h(x)\,dx-\int_d^\alpha g(x)\,dx。$$ $DF,DC$側では，$\beta\le x\le-4$で放物線と直線の間，$-4\le x\le d$で直線と$y=16$の間が領域となる。したがって $$\displaystyle S_2=\int_\beta^{-4}g(x)\,dx+\int_{-4}^d(\ell(x)-16)\,dx =\int_\beta^d g(x)\,dx-\int_{-4}^d h(x)\,dx。$$ $S_1=S_2$より $$\displaystyle \int_{-4}^4(16-x^2)\,dx=\int_\beta^\alpha(\ell(x)-x^2)\,dx。$$ 左辺は$\displaystyle \frac{256}{3}$。また，$\ell(x)-x^2=-(x-\alpha)(x-\beta)$であり，$\delta=\alpha-\beta$，$u=x-(\alpha+\beta)/2$とおけば右辺は $$\displaystyle \int_{-\delta/2}^{\delta/2}\left(\frac{\delta^2}{4}-u^2\right)du=\frac{\delta^3}{6}。$$ ゆえに$\delta^3/6=256/3$から$\delta=8$。 (2)より$k^2-8k=64$，すなわち$(k-4)^2=80$だから$k=4\pm4\sqrt5$。$k<0$に合うのは$k=4-4\sqrt5$で，これは$k<-8/3$も満たす。