4日本大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1)　 $\displaystyle \sin x=\frac12$ となるのは、指定範囲では $\displaystyle x=\frac\pi6$ である。したがって $$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\frac12-\sin x&\left(0\le x\le\frac\pi6\right),\\[2pt] \sin x-\frac12&\left(\frac\pi6\le x\le\frac\pi2\right). \end{cases}$$ グラフは $\displaystyle (0,\frac12)$ から $\displaystyle (\frac\pi6,0)$ まで減少し、そこから $\displaystyle (\frac\pi2,\frac12)$ まで増加する。折れ曲がる点は $\displaystyle (\frac\pi6,0)$ である。

(2)　 区間を $\displaystyle x=\frac\pi6$ で分けると $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/6}\left(\frac12-\sin x\right)\,dx+\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\sin x-\frac12\right)\,dx\\ &=\left[\frac{x}{2}+\cos x\right]_0^{\pi/6}+\left[-\cos x-\frac{x}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}\\ &=\left(\frac\pi{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\right)+\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\\ &=\sqrt3-1-\frac\pi{12}. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle S=\sqrt3-1-\frac\pi{12}$ である。

(3)　 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転したとき、$x$ における断面は半径 $f(x)$ の円である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{\pi/2}f(x)^2\,dx=\pi\int_0^{\pi/2}\left(\sin x-\frac12\right)^2\,dx\\ &=\pi\left(\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx+\int_0^{\pi/2}\frac14\,dx\right)\\ &=\pi\left(\frac\pi4-1+\frac\pi8\right)=\frac{3\pi^2}{8}-\pi. \end{aligned}$$ 絶対値を二乗すると $\displaystyle f(x)^2=(\sin x-\frac12)^2$ となるため、積分区間を分ける必要はない。