4福井大学 2008年 数学 第4問解答・解説

(1)　 0$\le$ t$\le$$\alpha$<$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ より $\cos t>0$ であり、 $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\cos t-\sin^2t\cos t=\cos^3t>0.$$ したがって $y$ は $t$ とともに増加し、各高さ $y=y(t)$ において図形 $E$ は $y$ 軸から曲線上の点まで、すなわち $0\le x\le\cos t$ の範囲を占める。これを $y$ 軸の周りに回転すると、その高さの断面は半径 $\cos t$ の円となる。よって $$\displaystyle V(\alpha)=\pi\int_0^{y(\alpha)}x^2\,dy =\pi\int_0^\alpha\cos^2t\,\frac{dy}{dt}\,dt =\pi\int_0^\alpha\cos^5t\,dt.$$ ここで $u=\sin t$ とおくと $du=\cos t\,dt$、$\cos^4t=(1-u^2)^2$ だから $$\displaystyle V(\alpha)=\pi\int_0^{\sin\alpha}(1-u^2)^2\,du =\pi\left(\sin\alpha-\frac23\sin^3\alpha+\frac15\sin^5\alpha\right).$$

(2)　 各高さ $y=y(t)$ での横幅は $\cos t$ であり、$dy=\cos^3t\,dt$ だから $$\displaystyle S(\alpha)=\int_0^{y(\alpha)}x\,dy =\int_0^\alpha\cos^4t\,dt.$$ 恒等式 $\displaystyle \cos^4t=\frac{3+4\cos2t+\cos4t}{8}$ を用いて積分すると $$\displaystyle S(\alpha)=\frac{3\alpha}{8}+\frac{\sin2\alpha}{4}+\frac{\sin4\alpha}{32}.$$

(3)　 $\displaystyle I_k(\alpha)=\int_0^\alpha\cos^k t\,dt$ とおくと、(1)、(2)より $$\displaystyle \frac{V(\alpha)}{S(\alpha)}=\pi\frac{I_5(\alpha)}{I_4(\alpha)}.$$ $\displaystyle 0\le t\le\alpha<\frac{\pi}{2}$ では $\cos\alpha\le\cos t\le1$ である。したがって $$\alpha\cos^5\alpha\le I_5(\alpha)\le\alpha,\qquad \alpha\cos^4\alpha\le I_4(\alpha)\le\alpha,$$ ゆえに $$\displaystyle \cos^5\alpha\le\frac{I_5(\alpha)}{I_4(\alpha)}\le\frac{1}{\cos^4\alpha}.$$ $\alpha\to+0$ のとき両端はともに $1$ に近づくので、はさみうちにより $I_5(\alpha)/I_4(\alpha)\to1$。よって求める極限は $$\boxed{\pi}.$$