3福井大学 2008年 数学 第3問解答・解説

(1) $g(x)=x^2+x+1$で割った余りを考える。$x^2\equiv-x-1$、$x^3\equiv1$であるから $$f(x^2)\equiv(1-a)x+b-a,\qquad f(x^4)\equiv(a-1)x+b-1.$$ 余りが等しいので係数を比較して$a=1$。また$f(x^3)$の余りは$1+a+b$であり、割り切れる条件から$b=-2$。従って $$\boxed{a=1,\quad b=-2},\qquad f(x)=(x-1)(x+2).$$ ここで$\equiv$は差が割る多項式の倍数であることを表す。 (2) $x^{3m}\equiv1$、$x^{3m+1}\equiv x$、$x^{3m+2}\equiv x^2$を用いる。 $k$が3の倍数なら$f(x^k)\equiv f(1)=0$。 $k\equiv1\pmod3$なら$f(x^k)\equiv x^2+x-2\equiv-3$。 $k\equiv2\pmod3$なら$f(x^k)\equiv x^4+x^2-2\equiv x+(-x-1)-2=-3$。 よって余りは $$\boxed{\begin{cases}0& (3\mid k),\\-3&(3\nmid k).\end{cases}}$$ (3) $g(x^k)$を$f(x)$で割った余りを$c_kx+d_k$とする。$f(1)=f(-2)=0$なので、余りの定理より $$c_k+d_k=3,\qquad -2c_k+d_k=4^k+(-2)^k+1.$$ 第一式の2倍を第二式に加えて $$\displaystyle d_k=\frac{4^k+(-2)^k+7}{3}.$$ 従って等比数列の和を用いれば $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{k=1}^n d_k &=\frac13\left\{\frac{4(4^n-1)}3+\frac{-2\{1-(-2)^n\}}3+7n\right\}\\ &=\boxed{\frac{4^{n+1}+2(-2)^n+21n-6}{9}}. \end{aligned}$$