1千葉大学 2000年 数学 第1問解答・解説

(1) 多項式の余りの定理より、$f(x)$ を $x$ で割った余りは $f(0)=c$、$x+1$ で割った余りは $f(-1)=a-b+c$ である。両者が等しいので $c=a-b+c$、従って $a=b$。

(2) $a=b$ より $f(x)=ax^2+ax+c$ である。直線 $y=x$ との接点は方程式 $$f(x)-x=ax^2+(a-1)x+c=0$$ の重解に当たる。したがって判別式が $0$ であり、$c=(a-1)^2/(4a)$ を得る。

$a<0$ なので $f$ は下向きの放物線であり、$-1\le x\le0$ の範囲 では頂点 $x=-1/2$ で最大となる。接線条件を用いると $$\displaystyle f\left(-\frac12\right)=c-\frac a4=\frac{1-2a}{4a}<0.$$ よって区間全体で $f(x)<0$。求める面積は $$\displaystyle -\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=\frac a6-c=\frac56$$ であるから、$c=(a-5)/6$。これを接線条件 $c=(a-1)^2/(4a)$ と等置すると $$3(a-1)^2=2a(a-5),\qquad (a+1)(a+3)=0.$$ 従って $a=b=-1,\ c=-1$、または $a=b=-3,\ c=-4/3$ である。答えは $$\displaystyle f(x)=-x^2-x-1\quad\text{または}\quad f(x)=-3x^2-3x-\frac43.$$ 実際、それぞれ $f(x)-x=-(x+1)^2$、$f(x)-x=-3(x+2/3)^2$ となり接線条件を満たす。いずれも上の積分で面積が $5/6$ となる。

余りの定理から係数条件を得る。接線条件は二次方程式の判別式0、面積条件は区間上での符号を確かめて定積分で表し、連立して二つの関数を得る。