9千葉大学 2000年 数学 第9問解答・解説

[ア](1) 正三角形の第3頂点は $$\gamma=\alpha+(\beta-\alpha)e^{\pm i\pi/3}$$ のどちらかである。正の向きでは $$\displaystyle \gamma=ti+(1-ti)\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right) =\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}t\right) +i\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac12t\right).$$ 実部・虚部はともに正である。負の向きでは虚部が $t/2-\sqrt3/2<0$（$0\leq t\leq1<\sqrt3$）となり条件に合わない。従って $$\displaystyle \boxed{\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}}.$$

[ア](2) $$\displaystyle x=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}t,\qquad y=\frac{\sqrt3}{2}+\frac12t\quad(0\leq t\leq1)$$ より $x-\sqrt3y=-1$。端点は $$\displaystyle t=0:\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\qquad t=1:\left(\frac{1+\sqrt3}{2},\frac{1+\sqrt3}{2}\right).$$ したがってこの2点を結ぶ線分を描く。

[イ] Yes分岐を $r$ 回実行した後の値を $k_r,x_r,s_r$ とする。各回で $x$ は3ずつ増え、$s$ には更新後の $x$ が加わるので $$\displaystyle k_r=1+r,\quad x_r=1+3r,\quad s_r=1+\sum\limits _{j=1}^r(1+3j)=1+r+\frac{3r(r+1)}2.$$ この状態で判定式左辺を整理すると $$6s_r-x_r^2=9r+5.$$ よって $9r+5<9n$ は整数 $r=0,\ldots,n-1$ では真、$r=n$ では偽であり、ループはちょうど $n$ 回実行される。終了時は $$\displaystyle \boxed{k=n+1,\qquad x=3n+1,\qquad s=\frac{3n^2+5n+2}{2}}.$$

[ウ](1) $$\displaystyle P(X=-1)=\left(\frac12-a\right)+a=\frac12,\qquad P(X=1)=a+\left(\frac12-a\right)=\frac12.$$

[ウ](2) $$\displaystyle \boxed{E(X)=(-1)\frac12+(1)\frac12=0}.$$

[ウ](3) $X+Y=-2,0,2$ となる場合をそれぞれまとめると $$\boxed{P(X+Y=-2)=a,\quad P(X+Y=0)=1-2a,\quad P(X+Y=2)=a}.$$

[ウ](4) 周辺確率は $P(X=1)=P(Y=1)=1/2$。独立であるための必要条件は $$\displaystyle a=P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=\frac14.$$ $a=1/4$ のとき他の3つの同時確率もすべて $1/4$ なので、この条件は十分でもある。従って $$\displaystyle \boxed{a=\frac14}.$$