6千葉大学 2000年 数学 第6問解答・解説

(1) 行列積を成分ごとに計算すると $$X^2= \begin{pmatrix} 2\cdot2+1\cdot(-4)&2\cdot1+1\cdot(-2)\\ (-4)\cdot2+(-2)\cdot(-4)&(-4)\cdot1+(-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

(2) 逆行列を求める行列を $$\displaystyle M=\begin{pmatrix}\frac{21}{10}&1\\-4&-\frac{19}{10}\end{pmatrix}$$ とし、$A=\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}$ とおく。$MA=E$ の成分を比較すると $$\displaystyle \frac{21}{10}r+t=1,\quad \frac{21}{10}s+u=0,\quad -4r-\frac{19}{10}t=0,\quad -4s-\frac{19}{10}u=1.$$ これらを解いて $$r=-190,\quad s=-100,\quad t=400,\quad u=210, \qquad A=\begin{pmatrix}-190&-100\\400&210\end{pmatrix}.$$ この行列を右側からも掛けると $AM=E$ となる。さらに $$pE+qX=\begin{pmatrix}p+2q&q\\-4q&p-2q\end{pmatrix}.$$ 成分を比較して $q=-100,\ p=10$ を得るから、 $$A=10E-100X.$$

(3) (1) の $X^2=O$ と (2) の式から、$n\ge1$ について $$A^n=10^nE-n10^{n+1}X$$ を帰納法で示す。$n=1$ では成立する。$n$ で成立すると仮定すると $$\begin{aligned} A^{n+1} &=(10^nE-n10^{n+1}X)(10E-100X)\\ &=10^{n+1}E-(n+1)10^{n+2}X+100n10^{n+1}X^2\\ &=10^{n+1}E-(n+1)10^{n+2}X, \end{aligned}$$ となり、次の指数でも成立する。したがって $$A^n=10^n\begin{pmatrix}1-20n&-10n\\40n&1+20n\end{pmatrix}.$$ $n\ge1$ では上段の2成分は負、下段の2成分は正である。また $$40n-(1+20n)=20n-1>0$$ より、4成分の最大値は左下の $40n10^n$ である。この値は $$\displaystyle \frac{40(n+1)10^{n+1}}{40n10^n}=\frac{10(n+1)}n>1$$ から $n\ge1$ で増加する。さらに $$40\cdot7\cdot10^7=2.8\times10^9<10^{10},\qquad 40\cdot8\cdot10^8=3.2\times10^{10}>10^{10}.$$ よって条件を初めて満たす最小の自然数は $n=8$ である。各行列積・逆行列の成分は、この問題の具体的な2次行列について直接計算している。