4千葉大学 2000年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }AP=t\text{ なので }P=(t,0,1).\ Q\text{ は }E\text{ から }F\text{ へ距離 }t\text{ だけ進むから、} Q=E+t(F-E)=\left(1-\frac t2,\frac{\sqrt3}{2}t,0\right). \text{(2) }PQ\text{ 上で }z=a\text{ となる点は }R=aP+(1-a)Q\text{ である。したがって} R(t)=\left(1-a+\frac{3a-1}{2}t,\frac{\sqrt3}{2}(1-a)t,a\right). \text{(3) 各辺は長さ }1\text{ であるため、経過時間 }0,1,2,3\text{ における }(P,Q)\text{ は }(A,E),(B,F),(C,D),(A,E)\text{ となる。両点は各区間で直線上を同じ速さで動くので、水平断面の境界 }R\text{ は次の三頂点を結ぶ三角形である。} R_0=aA+(1-a)E=(1-a,0,a),\quad R_1=aB+(1-a)F=\left(\frac{1+a}{2},\frac{\sqrt3}{2}(1-a),a\right),\quad R_2=aC+(1-a)D=\left(\frac a2,\frac{\sqrt3}{2}a,a\right). \text{よって座標平面上の三角形の面積公式から} S(a)=\frac12\left|\frac{3a-1}{2}\frac{\sqrt3 a}{2}-\frac{\sqrt3(1-a)}{2}\frac{3a-2}{2}\right|=\frac{\sqrt3}{4}(3a^2-3a+1). \text{(4) }V=\int_0^1S(a)\,da=\frac{\sqrt3}{4}\left[a^3-\frac32a^2+a\right]_0^1=\frac{\sqrt3}{8}.$$