2千葉大学 2000年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=a_2$ とおくと $\displaystyle S_2=\frac12+u$、$2S_2-1=2u\ne0$ である。したがって $$\displaystyle u=\frac{2(\frac12+u)^2}{2u}=\frac{(\frac12+u)^2}{u}, \quad\text{よって}\quad u^2=(u+\tfrac12)^2$$ より $\displaystyle u=-\frac14$ である。 (2) 定義 $S_n=S_{n-1}+a_n$ と条件から、 $$\displaystyle S_n=S_{n-1}+\frac{2S_n^2}{2S_n-1}.$$ 元の条件で $2S_n-1\ne0$ なので両辺に $2S_n-1$ を掛けて整理すると $$S_n(2S_n-1)=S_{n-1}(2S_n-1)+2S_n^2 \quad\text{より}\quad S_n(2S_{n-1}+1)=S_{n-1}.$$ ここで $2S_{n-1}+1=0$ とすると右辺が $\displaystyle -\frac12$ となり矛盾する。よって $$\displaystyle S_n=\frac{S_{n-1}}{2S_{n-1}+1}\quad(n\ge2).$$ (3) $\displaystyle S_1=\frac12>0$ であり、(2)の漸化式から帰納的に $S_n>0$ である。そこで $\displaystyle T_n=\frac1{S_n}$ とおくと $$\displaystyle T_n=2+\frac1{S_{n-1}}=T_{n-1}+2,\qquad T_1=2.$$ したがって $T_n=2n$、すなわち $\displaystyle S_n=\frac1{2n}\ (n\ge1)$ である。 (4) $n\ge2$ では $a_n=S_n-S_{n-1}$ より $$\displaystyle a_n=\frac1{2n}-\frac1{2(n-1)} =-\frac1{2n(n-1)}.$$