3神戸大学 2000年 数学 第3問解答・解説

(1)　 0<u<v<$\displaystyle \frac12$ とする。このとき $$f(v)-f(u)=v(1-v)-u(1-u)=(v-u)(1-u-v)>0$$ である。したがって、$f$ は$\displaystyle 0<x<\frac12$で単調増加である。また$x>0$に対して$2+x>0$なので、 $$\displaystyle g(x)-f(x)=\frac{2x}{2+x}-x(1-x)=\frac{x^2(1+x)}{2+x}>0,\qquad x-g(x)=x-\frac{2x}{2+x}=\frac{x^2}{2+x}>0.$$ よって$f(x)<g(x)<x$である。

(2)　 まず$\displaystyle 0<a_0=b_0<\frac12$と(1)より $$\displaystyle 0<a_1=f(a_0)<g(a_0)=b_1<a_0<\frac12$$ である。次に、ある$n\ge 1$で$\displaystyle 0<a_n<b_n<\frac12$と仮定する。(1)の単調性と不等式から $$\displaystyle 0<a_{n+1}=f(a_n)<f(b_n)<g(b_n)=b_{n+1}<b_n<\frac12$$ となる。したがって数学的帰納法により、すべての$n=1,2,\ldots$で$\displaystyle 0<a_n<b_n<\frac12$である。

(3)　 $\displaystyle c_n=\frac1{b_n}$とおくと、 $$\displaystyle c_{n+1}=\frac1{b_{n+1}}=\frac{2+b_n}{2b_n}=c_n+\frac12$$ である。よって$\displaystyle c_n=c_0+\frac n2=\frac1{b_0}+\frac n2$だから、 $$\displaystyle b_n=\frac1{c_n}=\frac{1}{\frac1{b_0}+\frac n2}=\frac{2b_0}{2+nb_0}\qquad(n=0,1,2,\ldots).$$