4神戸大学 2000年 数学 第4問解答・解説

(1) $\sqrt6-2\sin x\geq\sqrt6-2>0$ なので，商の微分法を用いると $$\displaystyle f'(x)=\frac{-\sin x(\sqrt6-2\sin x)+2\cos^2x}{(\sqrt6-2\sin x)^2} =\frac{2-\sqrt6\sin x}{(\sqrt6-2\sin x)^2}.$$

(2) $t=\sin x$ とおくと，$-1\leq t\leq1$ であり， $$\displaystyle (\sqrt6-2t)^2-2(1-t^2)=6\left(t-\sqrt{\frac23}\right)^2\geq0.$$ したがって $2\cos^2x\leq(\sqrt6-2\sin x)^2$ である。分母は正だから $\displaystyle f(x)^2\leq\frac12$，よって $\displaystyle f(x)\geq-\frac1{\sqrt2}$。等号には $\displaystyle \sin x=\sqrt{\frac23}$ かつ $\cos x<0$ が必要十分である。このとき $\displaystyle \cos x=-\sqrt{1-\frac23}=-\frac1{\sqrt3}$ となり，実際 $\displaystyle f(x)=-\frac1{\sqrt2}$ だから最小値は $\displaystyle -\frac1{\sqrt2}$ である。

(3) 分母は常に正なので $f(x)<0$ となるのは $\displaystyle \frac\pi2<x<\frac{3\pi}2$ である。よって求める面積は $$\displaystyle -\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\frac{\cos x}{\sqrt6-2\sin x}\,dx =\frac12\left[\log(\sqrt6-2\sin x)\right]_{\pi/2}^{3\pi/2} =\frac12\log\frac{\sqrt6+2}{\sqrt6-2} =\frac12\log(5+2\sqrt6).$$