2金沢大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) } f(x)=\frac{1}{e^x+e^{-x}}. S=e^x+e^{-x}, D=e^x-e^{-x} \text{ とおくと } S'=D, D'=S. \\ f'(x)=-\frac{D}{S^2},\qquad f''(x)=-\frac{1}{S}+\frac{2D^2}{S^3}=\frac{D^2-4}{S^3}. \\ S>0 \text{ であり、} f''(x)=0 \text{ の必要十分条件は }D=\pm2\text{、すなわち }x=\pm\log(1+\sqrt2). \text{ 分子は両根で符号を変えるので、いずれも変曲点である。最大の } x \text{ 座標は } b=\log(1+\sqrt2). \\ \text{(2) } e^b=1+\sqrt2 \text{ より } \tan 2\theta=\frac{2(1+\sqrt2)}{1-(1+\sqrt2)^2}=-1. \text{ また } \tan\frac{3\pi}{8}=1+\sqrt2 \text{ で、} 0<\theta<\frac{\pi}{2} \text{ だから } \theta=\frac{3\pi}{8}. \\ \text{(3) } b>0 \text{ より面積は } \int_0^b\frac{dx}{e^x+e^{-x}}. \text{ } u=e^x \text{ とおけば } \frac{dx}{e^x+e^{-x}}=\frac{du}{1+u^2}. \text{ よって面積は } \arctan(e^b)-\arctan(1)=\frac{3\pi}{8}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.$$