1山口大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{x^2+1},\quad f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$。$f''(x)>0\ (0\leq x<1)$、$f''(x)<0\ (x>1)$ なので、変曲点は $(1,\ln2)$ である。$f'(1)=1$ より、$P$ における接線は $l:y=x+\ln2-1$。 $g(x)=f(x)-(x+\ln2-1)$ とおくと $g(1)=0,\ g'(x)=f'(x)-1$。$0\leq x<1$ では $f'$ は増加して $f'(x)<f'(1)=1$、また $x>1$ では $f'$ は減少して $f'(x)<f'(1)=1$。よって $g'(x)<0\ (x\ne1)$ であるから、$0\leq x<1$ なら $g(x)>g(1)=0$、$x>1$ なら $g(x)<g(1)=0$。したがって共有点は $P$ のみである。求める領域は $0\leq x\leq1$ で $C$ が $l$ の上側にある部分なので、面積 $S$ は $$\displaystyle S=\int_0^1\{\ln(1+x^2)-(x+\ln2-1)\}\,dx.$$ $$\displaystyle \int_0^1\ln(1+x^2)\,dx=[x\ln(1+x^2)]_0^1-\int_0^1\frac{2x^2}{1+x^2}\,dx =\ln2-2+2\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}.$$ $\displaystyle x=\tan t\ (0\leq t\leq\frac\pi4)$ とおけば $\displaystyle \frac{dx}{1+x^2}=dt$ なので、 $$\displaystyle \int_0^1\ln(1+x^2)\,dx=\ln2-2+\frac\pi2.$$ $$\displaystyle \int_0^1(x+\ln2-1)\,dx=\ln2-\frac12.$$ $\displaystyle \therefore\quad S=\left(\ln2-2+\frac\pi2\right)-\left(\ln2-\frac12\right)=\frac{\pi-3}{2}$。