10千葉大学 2014年 数学 第10問解答・解説

以下、$s=\sin x$ とおく。

(1)　 $\sin 2x-2\cos x=2\cos x(\sin x-1)$ であるから、$u=\sin x$ と置換すると $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\,dx =2\int_{-1}^{1}e^u(u-1)\,du.$$ 部分積分により $$\displaystyle \int e^u(u-1)\,du =\int ue^u\,du-\int e^u\,du =e^u(u-1)-e^u =e^u(u-2).$$ したがって $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}f(x)\,dx =2\left[e^u(u-2)\right]_{-1}^{1} =\frac{6}{e}-2e.$$

(2)　 $f(x)=e^{\sin x}(\sin 2x-2\cos x)$ を微分すると $$\begin{aligned} f'(x) &=e^{\sin x}\left\{\cos x(\sin 2x-2\cos x)+2\cos 2x+2\sin x\right\}\\ &=2e^{\sin x}\sin x(1-\sin x)(\sin x+2). \end{aligned}$$ $1-\sin x\ge0$、$\sin x+2>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $\sin x$ の符号と一致する。よって $f$ は $0\le x\le\pi$ で増加し、$\pi\le x<2\pi$ で減少する。したがって最大値は $$f(\pi)=e^0(0-2\cos\pi)=2.$$

(3)　 $P(x)=x^2+2x-2$、$G(x)=e^xP(x)-f(x)$ とおくと、$G(0)=0$ であり $$G'(x)=e^x(x^2+4x)-2e^{\sin x}\sin x(1-\sin x)(\sin x+2).$$ $s=\sin x<0$ のときは $f'(x)<0$ であるから、$G'(x)\ge0$。

$s\ge0$ のときは $0\le s\le1$ かつ $$(1-s)(s+2)=2-s-s^2\le2.$$ また $x-\sin x\ge0$（その導関数は $1-\cos x\ge0$、かつ $x=0$ で $0$）なので $e^s\le e^x$、さらに $s\le x$ である。よって $$f'(x)=2e^s s(1-s)(s+2)\le4e^s s\le4e^x x$$ となり、 $$G'(x)\ge e^x(x^2+4x)-4e^x x=e^x x^2\ge0.$$ いずれの場合も $G'(x)\ge0$ だから、$G(x)\ge G(0)=0$。したがって $$(x^2+2x-2)e^x\ge f(x)\qquad(x\ge0)$$ が成り立つ。