1千葉大学 2014年 数学 第1問解答・解説

座標と時間範囲 図の頂点を $A=(0,10), B=(0,0), C=(10,0), D=(10,10)$ と置く。図の反時計回りは $A\to B\to C\to D\to A$ である。$R$ は $B$ から $C,D,A$ へ合計30cm進むので、A到着時刻は $\displaystyle \frac{30}{2}=15$ 秒。調べる範囲は $0\le t\le15$（終点を除外しても求める時刻は変わらない）。

各区間の座標は次のとおり。 $$\begin{array}{c|c|c|c} t\text{ の範囲}&P&Q&R\\ \hline 0\le t\le5&(0,10-t)&(t,0)&(2t,0)\\ 5\le t\le10&(0,10-t)&(t,0)&(10,2t-10)\\ 10\le t\le15&(t-10,0)&(10,t-10)&(30-2t,10) \end{array}$$

三角形の面積 $0\le t\le5$ では $Q,R$ が下辺上にあり、その間の距離は $t$、$P$ から下辺までの高さは $10-t$ だから $$\displaystyle [\triangle PQR]=\frac{t(10-t)}2 =\frac{25}{2}-\frac{(t-5)^2}{2}\le\frac{25}{2}<35.$$ この区間に解はない。

$5\le t\le10$ では、2ベクトル $(u_1,u_2)$、$(v_1,v_2)$ を2辺とする三角形の面積が $\displaystyle \frac12|u_1v_2-u_2v_1|$ であることを使う。この式は2ベクトルのなす角を $\theta$ として、内積と $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を面積公式に用いて得られる。成分を代入すると $$\displaystyle [\triangle PQR] =\frac12\left|t(3t-20)-10(t-10)\right| =\frac{3(t-5)^2+25}{2}.$$ 絶対値内の式は正である。面積35の条件は $$3(t-5)^2+25=70 \quad\text{すなわち}\quad (t-5)^2=15.$$ $5\le t\le10$ に入るのは $$t=5+\sqrt{15}.$$

$10\le t\le15$ では $$\displaystyle [\triangle PQR] =\frac12\left|10(20-t)-(t-10)(40-3t)\right| =\frac{3t^2-80t+600}{2} =\frac{3(t-\frac{40}{3})^2+\frac{200}{3}}2.$$ 絶対値内の式は正である。面積35の条件は $$\displaystyle 3t^2-80t+530=0 \quad\text{すなわち}\quad t=\frac{40\pm\sqrt{10}}3.$$ 両方とも $10\le t\le15$ に入る（$\sqrt{10}<10$ かつ $\sqrt{10}<5$）。よって求める全時刻は $$\displaystyle \boxed{5+\sqrt{15},\quad \frac{40-\sqrt{10}}3,\quad \frac{40+\sqrt{10}}3\text{ 秒}}.$$

分類 単元：数学I（座標・2次方程式）、数学A（平面図形の面積）。方法：正方形周上の区分的座標表示、成分の積の差による三角形面積、区間ごとの2次方程式と解の範囲確認。テーマ：速さの異なる点の周回運動を区間ごとに式で表し、面積条件を解く。

割当答案との照合 割当済みの forward_result_ref.json と backward_result_ref.json は、時刻 $5+\sqrt{15}$、$\displaystyle \frac{40-\sqrt{10}}{3}$、$\displaystyle \frac{40+\sqrt{10}}{3}$ 秒を示す。3区間の面積式と各区間に属する解を独立計算し、全て一致することを確認した。数学判定はAPPROVED（固定本文に対する）。出典は医学部選択表がPDFに含まれないためHOLDのまま。実際の解答モデル情報はUNVERIFIED。