3香川大学 2014年 数学 第3問解答・解説

・ 三角錐の高さを h とする。底面 ABC の重心を G，辺 AB の中点を M とおく。正三角形 ABC の内接円半径は $\displaystyle a=GM=\dfrac{\sqrt{3}}{6}x$ である。また $OA=OB=OC$ より O は G を通る底面への垂線上にある。この対称性から，内接球の中心 I もその軸上にあり，底面からの高さが半径に等しいので，断面 OGM 上で $I=(a,1)$ と表せる。座標を $M=(0,0),\ G=(a,0),\ O=(a,h)$ とすると，側面 OAB と断面 OGM の交線 OM は $hu-av=0$ である。I とこの直線との距離も 1 だから，$$\displaystyle \frac{a(h-1)}{\sqrt{a^2+h^2}}=1.$$ ここで $h>1$ である。したがって $a^2(h-1)^2=a^2+h^2$ より $(a^2-1)h^2-2a^2h=0$ となり，$\displaystyle h=\dfrac{2a^2}{a^2-1}$ を得る。この高さが正であるためには $a^2>1$，すなわち $x>2\sqrt{3}$ が必要である。$$\displaystyle h=\frac{2(x^2/12)}{x^2/12-1}=\frac{2x^2}{x^2-12}.$$ よって，$$\displaystyle V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\cdot h=\frac{\sqrt{3}x^4}{6(x^2-12)}.$$

・ $t=x^2$ とおくと，定義域は $t>12$ であり，$$\displaystyle \frac{t^2}{t-12}-48=\frac{(t-24)^2}{t-12}\geq 0.$$ 等号は $t=24$ のときに成り立つ。したがって $\displaystyle V\geq\dfrac{\sqrt{3}}{6}\cdot48=8\sqrt{3}$ であり，等号となる $x>0$ は $x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ である。