4香川大学 2014年 数学 第4問解答・解説

第4問

半径 $R$ の円の中心を $O$ とする。小円が大円の外側で接するので、各小円の 中心は $O$ を中心とする半径 $R+r$ の円周上にある。また、小円どうしが 交わらないため、異なる中心間の距離は $2r$ 以上である。

1. $R=3r$ のとき このとき中心の円周の半径は $4r$。中心を円周上で順に並べ、隣り合う中心間の 中心角を考える。もし $13$ 個以上置けるなら、中心角の一つは $$\displaystyle \frac{360^\circ}{13}<28^\circ$$ 以下である。その中心間距離は $8r\sin(\theta/2)<8r\sin14^\circ$。 数表の $\sin14^\circ=0.2419<0.25$ より、この距離は $2r$ 未満となり、 小円どうしが交わらない条件に反する。したがって $n\le12$。

一方、中心を半径 $4r$ の円周上に $30^\circ$ ずつ等間隔に置くと、隣り合う 中心間距離は $$8r\sin15^\circ=8r\cdot0.2588>2r$$ である。等間隔配置の全ての異なる中心間距離はこの値以上なので、小円は 互いに交わらず、12個を配置できる。ゆえに $$\boxed{n=12}.$$

2. 一般の場合 まず $n=1$ なら、$R/r>1$ より $\pi(R/r+1)>2\pi>1$ なので不等式は成り立つ。$n\ge2$ とし、 小円の中心を円周上で順に $O_1,\ldots,O_n$ とする。隣り合う二中心間の 円周上の弧の長さを $s_i$ とする。弧の長さは対応する弦の長さ以上であり、 小円は交わらないからその弦の長さは $2r$ 以上である。従って各 $i$ について $s_i\ge2r$。中心の円周全体の長さは $2\pi(R+r)$ なので $$\displaystyle 2nr\le\sum\limits _{i=1}^n s_i=2\pi(R+r).$$ 両辺を $2r>0$ で割れば $$\displaystyle \boxed{n\le\pi\left(\frac Rr+1\right)}.$$