1宮崎大学 2014年 数学 第1問解答・解説

図の平行六面体より $$\overrightarrow{OF}=\vec a+\vec c+\vec d,\qquad \overrightarrow{OE}=\vec a+\vec d.$$ 三角形ACDの重心Gについて $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec c+\vec d}{3}=\frac13\overrightarrow{OF}$$ だから、Gは線分OF上にある。Gは三角形ACD上の点でもあるので$H=G$であり、$OH:HF=1:2$。

正四面体OACDの各辺は1である。よって $|\vec a|=|\vec c|=|\vec d|=1$。また $|\vec a-\vec c|=1$ なので $$1=|\vec a-\vec c|^2=2-2\vec a\cdot\vec c,$$ 従って $\vec a\cdot\vec c=1/2$。同様に、異なる2ベクトルの内積はすべて1/2である。

(2) 位置ベクトルを引くと $$\displaystyle \overrightarrow{HE}=\frac{2\vec a-\vec c+2\vec d}{3},\qquad \overrightarrow{HF}=\frac{2(\vec a+\vec c+\vec d)}{3}.$$ $(\vec a+\vec c+\vec d)\cdot\vec a=(\vec a+\vec c+\vec d)\cdot\vec c=(\vec a+\vec c+\vec d)\cdot\vec d=2$ より $$\displaystyle \overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{HF}=\frac{2}{9}(2-1+2)\cdot2=\frac43.$$

(3) 同じ内積関係から $$\displaystyle |HE|^2=\frac19\bigl(4+1+4+2(-1+2-1)\bigr)=1, \quad |HF|^2=\frac49\left(3+6\cdot\frac12\right)=\frac83.$$ 二辺 $\overrightarrow{HE},\overrightarrow{HF}$ が作る三角形の面積は、平行四辺形の面積の半分だから $$\displaystyle [\triangle HEF]=\frac12\sqrt{|HE|^2|HF|^2-(\overrightarrow{HE}\cdot\overrightarrow{HF})^2} =\frac12\sqrt{\frac83-\frac{16}{9}}=\frac{\sqrt2}{3}.$$