3宮崎大学 2014年 数学 第3問解答・解説

大問3 $$\ell:\quad y-\cos t=-\sin t(x-t) =-\sin t\,x+\cos t+t\sin t.$$ したがって $$\displaystyle A=(0,\cos t+t\sin t),\qquad B=\left(\frac{\pi}{2},\,\cos t+\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\sin t\right).$$ 放物線が $A,B$ を通るので $$\displaystyle c=\cos t+t\sin t,\qquad -\frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi a}{2}+c =c-\frac{\pi}{2}\sin t,$$ ゆえに $$\displaystyle a=\frac{\pi}{4}-\sin t. \tag{1}$$

次に $D(x)=C_2(x)-C_1(x)$ とおくと $$D''(x)=\cos x-1\le 0.$$ また $D(0)=c-1>0$ であり、 $$\displaystyle D\left(\frac{\pi}{2}\right) =\cos t+\left(t-\frac{\pi}{2}\right)\sin t>0$$ （これは $y=\cos x$ の $x=t$ における接線を $x=\pi/2$ で評価した値で、接線は曲線より上にある）。よって区間内で $D(x)>0$ であり、面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/2}\left(-\frac{x^2}{2}+ax+c-\cos x\right)\,dx\\ &=\frac{\pi}{2}c+\frac{\pi^2}{8}a-\frac{\pi^3}{48}-1. \end{aligned}\tag{2}$$ (1) を代入すると $$\displaystyle S(t)=\frac{\pi}{2}\cos t+ \left(\frac{\pi t}{2}-\frac{\pi^2}{8}\right)\sin t +\frac{\pi^3}{96}-1.$$ したがって $$\displaystyle S'(t)=\frac{\pi}{2}\left(t-\frac{\pi}{4}\right)\cos t.$$ $0<t<\pi/2$ では $\cos t>0$ なので、$S$ は $t<\pi/4$ で減少し、$t>\pi/4$ で増加する。ゆえに最小となる値は $$\displaystyle \boxed{t=\frac{\pi}{4}}.$$